- •1 Курс, 1 семестр.
- •Лекция 1. Определители. (рассм. На прк)
- •Свойства определителей (справедливы для определителей любого порядка)
- •Вычисление определителей 4-го и более высоких порядков.
- •Лекция 3. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов и их свойства.
- •Лекция 4. Комплексные числа
- •Линейная алгебра
- •Лекция 5. Матрицы: определения, виды матриц.
- •Действия над матрицами.
- •Основные определения
- •Линейные операции над матрицами
- •Транспонирование матриц и его свойства
- •Лекция 6. Системы линейных алгебраических уравнений и методы их решения (формулы Крамера, матричный метод)
- •Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными матричным методом.
- •Лекция 7. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слау) методом Гаусса Суть метода Гаусса:
- •Решение однородных слау
- •Лекция 8. Плоскость в пространстве
- •1.1. Общее уравнение плоскости в пространстве
- •1.2. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум заданным (неколлинеарным) векторам
- •1.3. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
- •1.4. Уравнение плоскости «в отрезках»
- •1.5. Нормальное уравнение плоскости
- •1.6. Полярные параметры плоскости
- •1.7. Особые случаи расположения плоскости в пространстве относительно системы координат
- •2. Плоскости в пространстве: взаимное расположение
- •2.5. Угол между плоскостями
- •2.6. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •1.1. Уравнение прямой на плоскости,
- •1.10. Полярные параметры прямой
- •2. Прямые на плоскости: взаимное расположение
- •2.1. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой
- •2.2. Взаимное расположение прямой и пары точек
- •2.3. Расстояние от точки до прямой
- •2.4. Пучок прямых
- •2.5. Угол между прямыми
- •2.6. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •2.7. Точка пересечения непараллельных прямых
- •Лекция 10. Прямая в пространстве
- •Лекция 11. Кривые второго порядка
- •Лекция 12. Поверхности второго порядка
- •Математический анализ
2.6. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
Прямые, заданные общими уравнениями: ивзаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когдаДанные прямые параллельны тогда и только тогда, когда
Прямые на плоскости, заданные в виде: иперпендикулярны только том случае, когда(при). Данные прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны, т. е.
Прямые, заданные своими каноническими уравнениями: ивзаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когдаДанные прямые параллельны, если только выполнено условие:
2.7. Точка пересечения непараллельных прямых
Если на плоскости заданы две прямые: и, то согласно утверждению 2 координатыточки пересечения этих прямых можно вычислить по формулам:
(21) |
(22) |
Лекция 10. Прямая в пространстве
Общее уравнение прямой
направляющий вектор прямой
Каноническое уравнение прямой
Параметрические уравнения прямой
Уравнение прямой проходящей через 2 данные точки
Угол между прямыми и
6.
илежат в одной плоскости
Прямая и плоскость в пространстве
Угол между прямой L и плоскостью
2.
L- лежит в плоскости
3. если
4.
Лекция 11. Кривые второго порядка
Кривой второго порядка называется геометрическое место точек, задаваемых уравнением: . В зависимости от вида этой кривой уравнение можно привести к одному из канонических, задающему кривую, принадлежащую одному из классов.
Классификация кривых второго порядка
Невырожденные Вырожденные
Эллипс |
Гипербола |
Парабола |
Точка (0;0) |
Пара пересекающихся прямых |
Пара совпадающих прямых |
Пара параллельных прямых |
Каноническое уравнение |
Каноническое уравнение |
Каноническое уравнение |
Каноническое уравнение |
Каноническое уравнение |
Каноническое уравнение или |
Каноническое уравнение |
Признак вырожденности кривой: уравнение можно представить в виде произведения двух сомножителей.
Эллипс
Кривая второго порядка, заданная каноническим уравнением , называется эллипсом.a,b – полуоси эллипса. Если , то a- большая полуось, b- малая полуось.
Построение эллипса, заданного каноническим уравнением . Пусть уравнение эллипса имеет вид. Построим прямыеx=6 и y=3. Точки пересечения данных прямых с осями координат принадлежат эллипсу. Соединим их плавной кривой, получим искомый график. Обычно эллипс определяется как геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до фокусов эллипса является величиной постоянной и равной 2a. Координаты фокуса из уравнения эллипса находятся по формулам если в уравнении . Если , то фокусы имеют координаты (эллипс ориентирован вертикально).
Оптическое свойство эллипса состоит в том, что если точечный источник света поместить в один фокус эллипса, то в другом фокусе появится его изображение.
Эксцентриситет эллипса – степень его вытянутости - отношение расстояния от центра эллипса до фокуса к его большой полуоси, вычисляется по формуле . Для эллипса в общем случае>1, если , то эллипс превращается в окружность. Для эллипса, задаваемого уравнением эксцентриситет, а фокусы находятся в точках.
Окружность – частный случай эллипса, задается уравнением , гдеR – радиус окружности. У окружности 0, а фокусы совпадают с центром ( началом координат).
Гипербола
Гипербола – кривая, задаваемая каноническим уравнением или.a,b – полуоси гиперболы. Действительной называется та полуось, около которой в уравнении стоит знак «+». Прямые - асимптоты гиперболы (график стремится к ним, но никогда не достигает).
Построение гиперболы
Построение гиперболы, заданной уравнением начинаем с отложения по оси Ox отрезка длиной a единиц, а по оси Oy – длиной b единиц. Строим прямые и . Гипербола будет касаться полученного прямоугольника в двух точках . Проведем прямые- асимптоты гиперболы. Возьмем еще пару точек для более точного выяснения формы кривой (чем больше точек, тем лучше). Вид кривой (для примера взята гипербола, заданная уравнением) представлен на рисунке. Если в уравнении гиперболыпоменять знаки передx и y, то получим сопряженную ей гиперболу , которая имеет те же асимптоты.
Так же как и эллипс, гиперболу можно определить как геометрическое место точек, разность расстояний которых от фокусов постоянна. Фокусы гиперболы имеют координаты , где (значенияa,b берутся из уравнения гиперболы). Гипербола, сопряженная данной, будет иметь фокусы в точках .
Оптическое свойство гиперболы состоит в том, что если источник света поместить в один фокус гиперболы, то из бесконечно удаленной точки он будет виден так, как будто он находится во втором фокусе.
Эксцентриситет гиперболы – степень ее вытянутости. Для гиперболы (в общем случае >1) , задаваемой уравнением эксцентриситет, а фокусы находятся в точках.
Парабола
Параболой называется кривая второго порядка, задаваемая каноническим уравнением вида или, гдеp – параметр параболы. В зависимости от вида уравнения и значения параметра ветви параболы могут быть направлены:
Вверх, в случае если уравнение имеет вид приp>0.
Вниз, в случае если уравнение имеет вид приp<0.
Вправо, в случае если уравнение имеет вид приp>0.
Влево, в случае если уравнение имеет вид приp<0.
Параболу можно определить как геометрическое место точек, равноудаленных от точки - фокуса - и прямой - директрисы.
Оптическое свойство параболы состоит в том, что если в фокус параболы поместить точечный источник света, то из нее будет выходить параллельный пучок лучей.
Приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду.
Общее уравнение кривой , причем примем ( для упрощения расчетов)B=0. Существуют два метода преобразования уравнения общего вида к каноническому:
Выделение полного квадрата
Замена переменной
Для данного уравнения замену удобно ввести замену в виде:
, где x’ и y’ – новые переменные.
Если A и C не равны 0, то - новый центр кривой второго порядка, аx’ и y’ - новые оси.
Пример:
1. Кривая второго порядка задана уравнением . Выяснить, чему оно соответствует.
Данному уравнению соответствует окружность со смещенным центром, имеющая каноническое уравнение , где (x0;y0) – координаты центра окружности, а R – ее радиус. Воспользуемся методом выделения полного квадрата для нахождения канонического вида уравнения.
Итак, данное уравнение соответствует окружности радиуса 2 ед. с центром в точке (2;0).
Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую:
Воспользуемся методом замены переменных. Имеем:
Получилось каноническое уравнение эллипса с центром в точке (1;-2). Строим его по вышеописанному алгоритму.
Привести к каноническому виду уравнение . Построить кривую, заданную вышеописанным уравнением.
Используем метод выделения полного квадрата и замены переменной.
Получилось уравнение параболы с центром в точке (-2;2)