- •1 Курс, 1 семестр.
- •Лекция 1. Определители. (рассм. На прк)
- •Свойства определителей (справедливы для определителей любого порядка)
- •Вычисление определителей 4-го и более высоких порядков.
- •Лекция 3. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов и их свойства.
- •Лекция 4. Комплексные числа
- •Линейная алгебра
- •Лекция 5. Матрицы: определения, виды матриц.
- •Действия над матрицами.
- •Основные определения
- •Линейные операции над матрицами
- •Транспонирование матриц и его свойства
- •Лекция 6. Системы линейных алгебраических уравнений и методы их решения (формулы Крамера, матричный метод)
- •Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными матричным методом.
- •Лекция 7. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слау) методом Гаусса Суть метода Гаусса:
- •Решение однородных слау
- •Лекция 8. Плоскость в пространстве
- •1.1. Общее уравнение плоскости в пространстве
- •1.2. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум заданным (неколлинеарным) векторам
- •1.3. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
- •1.4. Уравнение плоскости «в отрезках»
- •1.5. Нормальное уравнение плоскости
- •1.6. Полярные параметры плоскости
- •1.7. Особые случаи расположения плоскости в пространстве относительно системы координат
- •2. Плоскости в пространстве: взаимное расположение
- •2.5. Угол между плоскостями
- •2.6. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •1.1. Уравнение прямой на плоскости,
- •1.10. Полярные параметры прямой
- •2. Прямые на плоскости: взаимное расположение
- •2.1. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой
- •2.2. Взаимное расположение прямой и пары точек
- •2.3. Расстояние от точки до прямой
- •2.4. Пучок прямых
- •2.5. Угол между прямыми
- •2.6. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •2.7. Точка пересечения непараллельных прямых
- •Лекция 10. Прямая в пространстве
- •Лекция 11. Кривые второго порядка
- •Лекция 12. Поверхности второго порядка
- •Математический анализ
1.5. Нормальное уравнение плоскости
Рассмотрим в ДПСК какую-либо плоскость Проведем через начало координат прямуюперпендикулярную плоскостии обозначим буквойточку пересечения прямойи плоскости. Возьмем на прямойединичный
Рис. 5 |
вектор , направление которого совпадает с направлением(в случае совпадения точекинаправлениевыберем произвольно). Обозначим дли-ну отрезкачерез. Запишем уравне-ние плоскости, проходящей через точкуперпендикулярно к вектору: |
Учитывая, что , получим уравнение:
называемое нормальным уравнением плоскости.
Замечание. Общее уравнение плоскости (3) легко приводится к нормальному виду при умножении его на соответствующий нормирующий множитель
взятый со знаком, противоположным знаку свободного члена в уравнении (3).
1.6. Полярные параметры плоскости
Пусть плоскость задана нормальным уравнением (9). Тогда длинаперпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат, естьполярное расстояние плоскости. Полярное расстояние положительно или равно нулю. Полярными углами плоскости называют углы из уравнения (9), эти углы связаны между собой соотношением:. Полярное расстояние и полярные углы называютполярными параметрами плоскости.
Если плоскость задана общим уравнением: , то полярные параметры плоскости можно определить по формулам:
где в последних трех формулах системы (11) знак «+» берется при , а знак «–» – при. Если, то знак можно выбрать произвольно (в этом случае выбирают только знак «+» или только знак «–».
1.7. Особые случаи расположения плоскости в пространстве относительно системы координат
Исследуем общее уравнение плоскости (3):
1) при , плоскость не проходит через начало координат; в этом случае возможны следующие варианты расположения плоскости относительно системы координат:
а) при получим:или, плоскость параллельна осиОх и отсекает на осях координат Оу и Оz отрезки исоответственно (схематичное изображение плоскости такого вида для случая, когдаисм. на рис. 6);
б) при получим:или, плоскость параллельна осиОy и отсекает на осях координат Оx и Оz отрезки исоответственно (схематичное изображение плоскости такого вида для случая, когдаисм. на рис. 7);
Рис. 6 |
Рис. 7 |
в) при получим:или, плоскость параллельна осиОz и отсекает на осях координат Оx и Оy отрезки исоответственно (схематичное изображение плоскости такого вида для случая, когдаисм. на рис. 8);
г) при получим:, плоскость параллельна координатной плоскостиyОz (схематичное изображение плоскости такого вида для случая, когда см. на рис. 9);
Рис. 8 |
Рис. 9 |
д) приполучим:, плоскость параллельна координатной плоскостиxОz (схематичное изображение плоскости такого вида для случая, когда см. на рис. 10);
е) при получим:, плоскость параллельна координатной плоскостиxOy (схематичное изображение плоскости такого вида для случая, когда см. на рис. 11);
Рис. 10 |
Рис. 11 |
2) при , плоскость проходит через начало координат; в этом случае возможны следующие варианты расположения плоскости относительно системы координат:
а) при получим:, плоскость проходит через осьОх (рис. 12);
б) при получим:, плоскость проходит через осьОу (рис. 13);
Рис. 12 |
Рис. 13 |
в) при получим:, плоскость проходит через осьОz (рис. 14);
г) при получим:– уравнение координатной плоскостиyОz (рис. 15);
Рис. 14 |
Рис. 15 |
д) при получим:– уравнение координатной плоскостиxОz (рис. 16);
е) при получим:– уравнение координатной плоскостиxОy (рис. 17).
Рис. 16 |
Рис. 17 |
Замечание. В случае, когда , плоскость, представленную уравнением (3), называют плоскостью общего положения, проходящейили не проходящейчерез начало координат.