Линейная алгебра

Лекция 5. Матрицы: определения, виды матриц.

Действия над матрицами.

Основные определения

Матрицей называется прямоугольная таблица, состоящая из чисел.

Обозначение матриц: A,B,C,K… - заглавными буквами латинского алфавита.

Горизонтальная линия матрицы – строка, вертикальная – столбец.

Элементы этой таблицы имеют такое обозначение:

Числа m и n – размер матрицы. Если m=n, то матрица квадратная.

Матрица, все элементы которой – нули, называется нулевой.

Если в квадратной матрице все элементы главной диагонали равны единице, а остальные нулевые, то матрица называется единичной.

Не следует путать понятие определителя и матрицы. Определитель – одно число, матрица – таблица из чисел. Для любой квадратной матрицы определитель может быть вычислен.

Вектор – это частный случай матрицы, содержащей всего одну строку

Если у матрицы только один столбец, то такая матрица называется вектор-столбцом.

Линейные операции над матрицами

1. Сложение матриц

Складывать можно только матрицы одинакового размера. Матрицы складываются поэлементно.

2. Умножение матрицы на число

Любую матрицу можно умножить на число, это делается поэлементно

3. Свойства линейных операций над матрицами

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. Противоположнаяматрица – матрица, все элементы которой имеют противоположные элементам исходной матрицы знаки.

1. Это свойство можно рассмотреть на примере матрицы 2*2

4. Умножение матриц

Пусть матрица Aимеет размерm×n, а матрицаBразмерl×k. Чтобы эти матрицы можно было перемножить, нужно чтобы выполнялось условиеn=l. Тогда произведением будет матрица размераm×k.

Найдем элементы матрицы произведения . Для нахождения каждого элемента матрицы С выделимi-ю строчку матрицыAиj-ю столбец матрицыB.

Примеры:

1. Вычисление произведения матриц:

2. Произведение матрицы на вектор-столбец

3. Произведение вектор-столбца на вектор-строку

5. Свойства умножения матриц

1. 

2. 

3. 

4. сочетательный закон

5. A-квадратная матрица,E-единичная

6. определитель произведения матриц AиBравен произведению их определителей.

Замечание: для квадратных матриц переместительный закон умножения (коммутативность) неверен.

Транспонирование матриц и его свойства

Матрица, у которой строчки заменены столбцами, а столбцы – строчками называется транспонированной по отношению к данной.

Пример:

Свойства транспонирования матриц

1. 

2. 

3. 

4. 

5. Определитель транспонированной матрицы совпадает с исходным

Обратная матрица и ее вычисление.

Пусть A– квадратная матрица порядкаn, тогда обратной будем называть (и обозначать ееA^-1) такую матрицу, что.

Обратная матрица определена тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от 0.

Обратная матрица вычисляется по следующей схеме:

Пусть задана матрица B_n×n

, тогда

Здесь знаком B* обозначена союзная матрица – транспонированная матрицаалгебраических дополненийисходной матрицы.

Для матрицы второго порядка можно указать простые формулы для нахождения ей обратной.

Пусть дана матрица С размером 2×2. Найдем обратную матрицу:

Союзная матрица:

Перемножим исходную матрицу и союзную:

Отсюда найдем обратную матрицу:

- матрица второго порядка

Пример:

Для матрицы 3×3 найдем ей обратную. Пусть дана матрица:

Решение матричных уравнений.

В общем случае матричное уравнение имеет следующий вид: либо , тогда его решение находится так:

Предполагается, что X– матрица неизвестных ( ее размер заранее не определен),A– квадратная матрица коэффициентов, причем, матрицаBизвестна из условия, либо определяется в ходе алгебраических преобразований более сложного уравнения.

Матричное уравнение, кроме того, моет иметь вид , причем смысл обозначений остается тем же.Порядок следования матриц в уравнении важен, так как уравнение имеет другое решение, чем уравнение, а именно:

Пример решения матричного уравнения:

. Здесь ,

Решение найдем по формуле

Проверка: