§ 18. Коррелированность и зависимость случайных величин

Две случайные величины X и Y называют коррелированными, если их корреляционный момент (или, что то же, коэффициент корреляции) отличен от нуля; X и Y называют некоррелированными величинами, если их корреляционный момент равен нулю.

Две коррелированные величины также и зависимы. Действительно, допустив противное, мы должны заключить, что μ_ху=0, а это противоречит условию, так как для коррелированных величин μ_ху ≠0.

Обратное предположение не всегда имеет место, т. е. если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. Другими словами, корреляционный момент двух зависимых величин может быть не равен нулю, но может и равняться нулю.

Убедимся на примере, что две зависимые величины могут быть некоррелированными.

Пример. Двумерная случайная величина (X, Y) задана плотностью распределения:

внутри эллипса ,

0 вне этого эллипса.

Доказать, что X и Y — зависимые некоррелированные величины.

Решение. Воспользуемся ранее вычисленными плотностями распределения составляющих X и Y (см. § 12):

, внутри заданного эллипса иf₁(x)=0, f₂(y)=0 вне его.

Так как f(x, у)≠ f₁ (х)f₂ (у), то X и Y -зависимые величины (см. § 16).

Для того чтобы доказать некоррелированность X и Y, достаточно убедиться в том, что μ_ху=0. Найдем корреляционный момент по формуле (см. § 17).

Поскольку функция f₁ (x) симметрична относительно оси Оy, то М(Х) = 0; аналогично, М(Y)=0 в силу симметрии f₂(у) относительно оси Ох. Следовательно,

.

Вынося постоянный множитель f (x, у) за знак интеграла, получим

.

Внутренний интеграл равен нулю (подынтегральная функция нечетна, пределы интегрирования симметричны относительно начала координат), следовательно, μ_ху = 0, т.е. зависимые случайные величины X и Y некоррелированы.

Итак, из коррелированности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает коррелированность. Из независимости двух величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя заключить о независимости этих величин.

Заметим, однако, что из некоррелированности нормально распределенных величин вытекает их независимость. Это утверждение будет доказано в следующем параграфе.

§ 19. Нормальный закон распределения на плоскости

На практике часто встречаются двумерные случайные величины, распределение которых нормально.

Нормальным законом распределения на плоскости называют распределение вероятностей двумерной случайной величины (X, Y), если

(*)

Мы видим, что нормальный закон на плоскости определяется пятью параметрами: а₁, а₂, σ_х, σ_у и r_ху. Можно доказать, что эти параметры имеют следующий вероятностный смысл: а₁, а₂ - математические ожидания, σ_х, σ_у - средние квадратические отклонения, r_ху - коэффициент корреляции величин X и Y.

Убедимся в том, что если составляющие двумерной нормально распределенной случайной величины некоррелированны, то они и независимы. Действительно, пусть X и Y некоррелированны. Тогда, полагая в формуле (*)r_xy= 0, получим

.

Таким образом, если составляющие нормально распределенной случайной величины некоррелированны, то плотность совместного распределения системы равна произведению плотностей распределения составляющих, а отсюда и следует независимость составляющих (см. § 16). Справедливо и обратное утверждение (см. § 18).

Итак, для нормально распределенных составляющих двумерной случайной величины понятия независимости и некоррелированности равносильны.

Замечание. Используя формулы (*) и (**) § 12, можно доказать, что если двумерная случайная величина распределена нормально с параметрами а₁, а₂, σ_х, σ_у, r_ху, то ее составляющие также распределены нормально с параметрами, соответственно равными а₁, σ_х, а₂, σ_у.