До сих пор рассматривались случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом. Такие величины называют одномерными. Например, число очков, которое может выпасть при бросании игральной кости,- дискретная одномерная величина; расстояние от орудия до места падения снаряда - непрерывная одномерная случайная величина.

Кроме одномерных случайных величин изучают величины, возможные значения которых определяются двумя, тремя, … , п числами. Такие величины называются соответственно двумерными, трехмерными, . . ., n-мерными.

Будем обозначать через (X, Y) двумерную случайную величину. Каждую из величин X и Y называют составляющей (компонентой); обе величины X и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин. Аналогично n-мерную величину можно рассматривать как систему п случайных величин. Например, трехмерная величина (X, Y, Z) определяет систему трех случайных величин X, Y и Z.

Пример. Станок-автомат штампует стальные плитки. Если контролируемыми размерами являются длина X и ширина Y, то имеем двумерную случайную величину (X, Y); если же контролируется и высота 2, то имеем трехмерную величину (X, Y, Z).

Двумерную случайную величину (X, Y) геометрически можно истолковать либо как случайную точку М (X, Y) на плоскости (т. е. как точку со случайными координатами), либо как случайный вектор ОМ. Трехмерную случайную величину геометрически можно истолковать как точку М (X, Y, Z) в трехмерном пространстве или как вектор OM.

Целесообразно различать дискретные (составляющие этих величин дискретны) и непрерывные (составляющие этих величин непрерывны) многомерные случайные величины.

§ 2. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины

Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, т. е. пар чисел (x_i ,y_j) и их вероятностей p(x_i ,y_j) (i=1, 2, .... ,n; j = 1, 2, .... ,n). Обычно закон распределения задают в виде таблицы с двойным входом (табл. 2).

Первая строка таблицы содержит все возможные значения составляющей X, а первый столбец — все возможные значения составляющей Y. В клетке, стоящей на пересечении «столбца хi» и «строки у_j», указана вероятность p(x_i ,y_j) того, что двумерная случайная величина примет значение (x_i ,y_j) .

Так как события (Х=x_i, Y=y_j) (i=1, 2, .... ,n; j = 1, 2, .... ,n) образуют полную группу (см. гл. II, § 2) то сумма вероятностей, помещенных во все клетки таблицы, равна еденицы.

Таблица 2

Y	X
	x1	x2	…	xi	…	xn
y1	p(x1, y1)	p(x2, y1)	…	p(xi, y1)	…	p(xn, y1)
…	…	…	…	…	…	…
yj	p(x1, yj)	p(x2, yj)	…	p(xi, yj)	…	p(xn, yj)
…	…	…	…	…	…	…
ym	p(x1, ym)	p(x2, ym)	…	p(xi, ym)	…	p(xn, ym)

Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих. Действительно, например, события (Х=х₁, Y=у₁), (Х=х₁, Y=у₂), .... (Х = x₁ , Y=у_т) несовместны, поэтому вероятность Р (х₁) того, что X примет значение х₁, по теореме сложения такова:

Р(х₁) = р(х₁, у₁) + р(х₁, у₂)+ ...+р(х₁, у_т).

Таким образом, вероятность того, что X примет значение х₁ равна сумме вероятностей «столбца х₁». В общем случае, для того чтобы найти вероятность Р (X =x_i), надо просуммировать вероятности столбца x_i. Аналогично сложив вероятности «строки y_j», получим вероятность P(Y=y_i).

Пример. Найти законы распределения составляющих двумерной случайной величины, заданной законом распределения (табл. 3).

Решение. Сложив вероятности по столбцам, получим вероятности возможных значений Х: Р (х₁) = 0,16; Р (x₂)=0,48; Р (x₃)=0,35. Напишем закон распределения составляющей X:

X x₁ x₂ x₃

P 0,16 0,48 0,35

Таблица3

Y	X
	x1	x2	x3
y1	0,10	0,30	0.20
y2	0,06	0,18	0,16

Контроль: 0,16+0,48+0,36=1.

Сложив вероятности по строкам, получим вероятности возможных Y: Р(у₁)=0,60; Р(у₂)=0,40. Напишем закон распределения Составляющей Y: Y у₁ у₂

Р 0,60 0,40

Контроль: 0,60+0,40=1.

§ 3. Функция распределения двумерной случайной величины.

Рассмотрим двумерную случайную величину (X, Y) (безразлично, дискретную или непрерывную).

Пустьx, у -пара действительных чисел. Вероятность события, состоящего в том, что X примет значение, меньшее x, и при этом Y примет значение, меньшее у, обозначим через F(x, у). Если x и у будут изменяться, то, вообще говоря, будет изменяться и F(х, у), т.е. F(x, у) - есть функция от x и у.

Функцией распределения двумерной случайной величины (X, Y) называют функцию F(x, у), определяющую для каждой пары чисел x, у вероятность того, что X примет значение, меньшее x, и при этом Y примет значение, меньшее у:

F(x, у) = Р(Х<x, Y<у).

Геометрически это равенство можно истолковать так: F (x, у) есть вероятность того, что случайная точка (X, Y) попадет в бесконечный квадрант с вершиной (x, у), расположенный левее и ниже этой вершины (рис. 13)

Пример. Найти вероятность того, что в результате испытания составляющая X двумерной случайной величины (X, Y) примет значение X < 2 и при этом составляющая Y примет значение Y < 3, если известна функция распределения системы

Решение. По определению функции распределения двумерной случайной величины.

F(x, y) = Р(Х<x, Y<у).

Положив x=2, y=3, получим искомую вероятность.