- •§ 2. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины
- •§ 3. Функция распределения двумерной случайной величины.
- •§ 4. Свойства функции распределения двумерной случайной величины
- •§ 5. Вероятность попадания случайной точки в полуполосу
- •§ 6. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник
- •§ 7. Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины (двумерная плотность вероятности)
- •§ 8. Нахождение функции распределения системы по известной плотности распределения
- •§ 9. Вероятностный смысл двумерной плотности вероятности.
- •§ 10. Вероятность попадания случайной точки в произвольную область
- •§11. Свойства двумерной плотности вероятности
- •§ 12. Отыскание плотностей вероятности составляющих двумерной случайной величины
- •§ 13. Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величин
- •§ 14. Условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величин
- •§ 15. Условное математическое ожидание
- •§ 16. Зависимые и независимые случайные величины
- •§ 17. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
- •§ 18. Коррелированность и зависимость случайных величин
- •§ 19. Нормальный закон распределения на плоскости
- •§ 20. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии
- •§ 21. Линейная корреляция. Нормальная корреляция
- •§ 1. Задачи математической статистики
- •§ 2. Краткая историческая справка
- •§ 3. Генеральная и выборочная совокупности
- •§ 4 Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка
- •§ 5. Способы отбора
- •§ 6. Статистическое распределение выборки
- •§ 7. Эмпирическая функция распределения
- •§ 8. Полигон и гистограмма
- •§ 1. Статистические оценки параметров распределения
- •§ 2. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки
- •§ 3. Генеральная средняя
- •§ 4. Выборочная средняя
- •§ 5. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Устойчивость выборочных средних
- •§ 6. Групповая и общая средние
- •§ 7. Отклонение от общей средней и его свойство
- •§ 8. Генеральная дисперсия
- •§ 9. Выборочная дисперсия
- •§ 10. Формула для вычисления дисперсии
- •§11. Групповая, внутригрупповая, межгрупповая и общая дисперсии
- •§ 12. Сложение дисперсий
- •§ 13. Оценка генеральной дисперсий по исправленной выборочной
- •§14. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал
- •§ 15. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном σ
- •§ 16. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном σ
- •§ 17. Оценка истинного значения измеряемой величины
- •§ 18. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения σ нормального распределения
- •§ 19. Оценка точности измерений
- •§ 20. Оценка вероятности (биномиального распределения) по относительной частоте
- •§ 21. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения
- •§ 22. Метод наибольшего правдоподобия
- •§ 23. Другие характеристики вариационного ряда
- •§ 1. Условные варианты
- •§ 2. Обычные, начальные и центральные эмпирические моменты
- •§ 3. Условные эмпирические моменты. Отыскание центральных моментов по условным
- •§ 4. Метод произведений для вычисления выборочных средней и дисперсии
- •§ 5. Сведение первоначальных вариант к равноотстоящим
- •§ 6. Эмпирические и выравнивающие (теоретические) частоты
- •§ 7. Построение нормальной кривой по опытным данным
- •§ 8. Оценка отклонения эмпирического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс
- •§ 1. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости
- •§ 2. Условные средние
- •§ 3. Выборочные уравнения регрессии
- •§ 4. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии среднеквадратичной регрессии по не сгруппированным данным
- •§ 5. Корреляционная таблица
- •§ 6. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным
- •§ 7. Выборочный коэффициент корреляции
- •§ 8. Методика вычисления выборочного коэффициента корреляции
- •§ 9. Пример на отыскание выборочного уравнения прямой линии регрессии
- •§ 10. Предварительные соображения к введению меры любой корреляционной связи
- •§ 11. Выборочное корреляционное отношение
- •§ 12. Свойства выборочного корреляционного отношения
- •§ 13. Корреляционное отношение как мера корреляционной связи. Достоинства и недостатки этой меры
- •§ 14. Простейшие случаи криволинейной корреляции
- •§ 15. Понятие о множественной корреляции
- •§ 1. Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы
- •§ 2. Ошибки первого и второго рода
- •§ 3. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемое значение критерия
- •§ 4. Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки
- •§ 5. Отыскание правосторонней критической области
- •§ 6. Отыскание левосторонней и двусторонней критических областей
- •§ 7. Дополнительные сведения о выборе критической области. Мощность критерия
- •§ 8. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •§ 9. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности
- •§ 10. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (независимые выборки)
- •§ 11( Сравнение двух средних произвольно распределенных генеральных совокупностей (большие независимые выборки)
- •§ 12. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки)
- •§ 13. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности а. Дисперсия генеральной совокупности известна.
- •§ 14. Связь между двусторонней критической областью и доверительным интервалом
- •§ 15. Определение минимального объема выборки при сравнении выборочной и гипотетической генеральной средних
- •§ 16. Пример на отыскание мощности критерия
- •§ 17. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями (зависимые выборки)
- •§ 18. Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события
§ 6. Эмпирические и выравнивающие (теоретические) частоты
А. Дискретное распределение. Рассмотрим дискретную случайную величину X, закон распределения которой неизвестен. Пусть произведено п испытаний, в которых величина X приняла n1 раз значение х1, n2 раз значение x2, .... nk раз значение xk, причем .
Эмпирическими частотами называют фактически наблюдаемые частоты ni.
Пусть имеются основания предположить, что изучаемая величина X распределена по некоторому определенному закону. Чтобы проверить, согласуется ли это предположение с данными наблюдений, вычисляют частоты наблюдаемых значений, т. е. находят теоретически частоту ni' каждого из наблюдаемых значений в предположении, что величина X распределена по предполагаемому закону.
Выравнивающими (теоретическими) в отличие от фактически наблюдаемых эмпирических частот называют частоты ni' найденные теоретически (вычислением). Выравнивающие частоты находят с помощью равенства
ni' = nPi,
где n — число испытаний; Рi — вероятность наблюдаемого значения хi, вычисленная при допущении, что X имеет предполагаемое распределение.
Итак, выравнивающая частота наблюдаемого значения xi дискретного распределения равна произведению числа испытаний на вероятность этого наблюдаемого значения.
Пример. В результате эксперимента, состоящего из n = 520 испытаний, в каждом из которых регистрировалось число хi появлений некоторого события, получено следующее эмпирическое распределение:
набл. значения . . xi 0 1 2 34567
эмп. частота . ni 120 167 130 69 27 5 1 1
Найти выравнивающие частоты ni' в предположении, что случайная величина X (генеральная совокупность) распределена по закону Пуассона.
Решение. Известно, что параметр λ, которым определяется распределение Пуассона, равен математическому ожиданию этого распределения. Поскольку в качестве оценки математического ожидания принимают выборочную среднюю (см. гл. XVI, § 5), то и в качестве оценки λ можно принять выборочную среднюю . Легко найти по условию, что выборочная средняя равна 1,5, следовательно, можно принять λ =1,5.
Таким образом, формула Пуассона
принимает вид
Пользуясь этой формулой, найдем вероятности Р520(К) при k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (для простоты записи индекс 520 далее опущен): Р(0) = 0,22313, Р (1) = 0,33469, Р (2) = 0,251 021, Р (3) = 0,125511, Р (4) = 0,047066, Р (5) = 0,014120, Р (6) = 0,003530, P (7) =0,000755. Найдем выравнивающие частоты (результаты умножения округлены до единицы):
n1' = nР(0) = 520-0,22313 =116,
n2' = nP(1) = 520-0,33469= 174.
Аналогично находят и остальные выравнивающие частоты. В итоге получим:
эмп. частота . . 123 167 130 69 27 5 1 1
выр. частота . . 116 174 131 65 25 7 2 0
Сравнительно небольшое расхождение эмпирических и выравнивающих частот подтверждает предположение, что рассматриваемое распределение подчинено закону Пуассона.
Заметим, что если подсчитать выборочную дисперсию по данному распределению, то окажется, что она равна выборочной средней, т.е. 1,5. Это служит еще одним подтверждением сделанного предположения, поскольку для распределения Пуассона λ = М (X) = D (X)
Сравнения эмпирических и теоретических частот сна глаз», конечно, недостаточно. Чтобы сделать это более обоснованно, надо использовать, например, критерий Пирсона (см. гл. XIX, § 23). Проверка гипотезы о распределении случайной величины по закону Пуассона изложена в книге: Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., «Высшая школа», 1972 (см. гл. XIII, § 17).
Б. Непрерывное распределение. В случае непрерывного распределения, вероятности отдельных возможных значений равны нулю (см. гл, X, § 2, следствие 2). Поэтому весь интервал возможных значений делят на k непересекающихся интервалов и вычисляют вероятности Pi попадания X в i-й частичный интервал, а затем, как и для дискретного распределения, умножают число испытаний на эти вероятности.
Итак, выравнивающие частоты непрерывного распределения находят по равенству
ni'=nPi,
где п — число испытаний; Рi — вероятность попадания X в i-й частичный интервал, вычисленная при допущении, что X имеет предполагаемое распределение.
В частности, если имеются основания предположить, что случайная величина X (генеральная совокупность) распределена нормально, то выравнивающие частоты могут быть найдены по формуле
, (*)
где п — число испытаний (объем выборки), h — длина частичного интервала, σв — выборочное среднее квадрати-ческое отклонение, (xi — середина i-гo частичного интервала),
.
Пример на применение формулы (*) приведен в § 7.
Пояснение. Поясним происхождение формулы (*). Напишем плотность общего нормального распределения:
. (**)
При а = 0 и σ = 1 получим плотность нормированного распределения:
или, изменив обозначение аргумента,
Положив и = (х - а)/σ, имеем
(***)
Сравнивая (**) и (***), заключаем, что
.
Если математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ неизвестны, то в качестве оценок этих параметров принимают соответственно выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение σв (см. гл. XVI, § 5,9). Тогда
,
где .
Пусть xi- середина i-гo интервала (на которые разбита совокупность всех наблюдаемых значений нормально распределенной случайной величины X) длиной h. Тогда вероятность попадания X в этот интервал приближенно равна произведению длины интервала на значение плотности распределения f (x) в любой точке интервала и, в частности, при х=xi (см. гл. XI, § 5):
.
Следовательно, выравнивающая частота
,
где .Мы получили формулу (*).