§ 5. Сведение первоначальных вариант к равноотстоящим
Выше изложена методика расчета выборочных характеристик для равноотстоящих вариант. На практике, как правило, данные наблюдений не являются равноотстоящими числами. Естественно, возникает вопрос: нельзя ли соответствующей обработкой наблюдаемых значений признака свести вычисления к случаю равноотстоящих вариант? Оказывается, можно. С этой целью интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака (первоначальные варианты), делят на несколько равных частичных интервалов. (Практически в каждый частичный интервал должно попасть не менее 8—10 первоначальных вариант.) Затем находят середины частичных интервалов, которые и образуют последовательность равноотстоящих вариант.
В качестве частоты каждой «новой» варианты (середины частичного интервала) принимают общее число первоначальных вариант, попавших в соответствующий частичный интервал.
Ясно, что замена первоначальных вариант серединами частичных интервалов сопровождается ошибками (первоначальные варианты левой половины частичного интервала будут увеличены, а варианты правой половины уменьшены), однако эти ошибки будут в основном погашаться, поскольку они имеют разные знаки.
Пример. Выборочная совокупность объема п= 100 задана табл. 8.
Составить распределение равноотстоящих вариант.
Решение. Разобьем интервал 1,00—1,50, например, на следующие 5 частичных интервалов:
1,00—1,10; 1,10—1,20; 1,20—1,30; 1,30—1,40; 1,40—1,50.
Таблица 8
|
xi |
ni |
xi |
ni |
xi |
ni |
|
1,00 1,03 1,05 1,06 1,08 1,10 1,12 1,15 1,16
|
1 3 6 4 2 4 3 6 5 |
1,19 1,20 1,23 1,25 1,26 1,29 1,30 1,32 1,33 |
2 4 4 8 4 4 6 4 5 |
1,37 1,38 1,39 1,40 1,44 1,45 1,46 1,49 1,50 |
6 2 1 2 3 3 2 4 2 |
Приняв середины частичных интервалов, в качестве новых вариант yi, получим равноотстоящие варианты: y1=1,05; y2=1,15; у3=1,25; y4=1.35; y5 = 1,45.
Найдем частоту варианты у1:
n1= 1+3 + 6 + 4+2 + 4/2= 18.
(Поскольку первоначальная варианта 1,10 одновременно является концом первого частичного интервала и началом второго, частота 4 этой варианты поровну распределена между обоими частичными интервалами.)
Найдем частоту варианты y2:
n2 = 4/2 + 3 + 6 + 5 + 2 + 4/2 = 20.
Аналогично вычислим частоты остальных вариант: n3 = 25; п4 = 22; n5=15.
В итоге получим следующее распределение равноотстоящих вариант:
yi 1,05 1,15 1,25 1,35 1,45
ni 18 20 25 22 15
Рекомендуем читателю убедиться, что выборочные средние и дисперсии, вычисленные по первоначальным и равноотстоящим вариантам, окажутся соответственно равными:
=
1,250;
=
1,246;Dx
= 0,018; Dy
= 0,017.
Как видим, замена первоначальных вариант равноотстоящими не привела к существенным ошибкам; при этом объем вычислительной работы значительно уменьшается.