§ 7. Построение нормальной кривой по опытным данным

Один из способов построения нормальной кривой по данным наблюдений состоит в следующем:

1) находят и σ_в, например, по методу произведений;

2) находят ординаты y_i (выравнивающие частоты)теоретической кривой по формуле , гдеп -сумма наблюдаемых частот, h - разность между двумя соседними вариантами: ии ;

3) строят точки (x_i, у_i) в прямоугольной системе координат и соединяют их плавной кривой.

Близость выравнивающих частот к наблюдаемым подтверждает правильность допущения о том, что обследуемый признак распределен нормально.

Пример. Построить нормальную кривую по данному распределению:

варианты . . . x_i 15 20 25 30 35 40 45 50 55

частоты . . . n_i 6 13 38 74 106 85 30 10 4

Решение. Пользуясь методом произведений (см. § 4), найдем = 34,7, σ_в = 7,38.

Вычислим выравнивающие частоты (табл. 9).

Таблица 9

xi	ni	xi-
15 20 25 30 35 40 45 50 55	6 13 38 74 106 85 30 10 4	-19,7 -14,7 -9,7 -4,7 0,3 5,3 10,3 15,3 2,77	-2,67 -1,99 -1,31 -0,63 0,05 0,73 1,41 2,09 2,77	0,0113 0,0551 0,1691 0,3271 0,3984 0,3056 0,1476 0,0449 0,0086	3 14 42 82 99 76 97 11 2
	n=366

На рис. 22 построены нормальная (теоретическая) кривая по выравнивающим частотам (они отмечены кружками) и полигон наблюдаемых частот (они отмечены

крестиками). Сравнение графиков наглядно показывает, что построенная теоретическая кривая удовлетворительно отражает данные наблюдений.

Для того чтобы более уверенно считать, что данные наблюдений свидетельствуют о нормальном распределении признака, пользуются специальными правилами (их называют критериями согласия), понятие о которых можно найтидалее (см. гл. XIX, § 23).

§ 8. Оценка отклонения эмпирического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс

Для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального используют различные характеристики, к числу которых относятся асимметрия и эксцесс. Смысл этих характеристик аналогичен смыслу асимметрии и эксцесса теоретического распределения (см. гл. XII, §.9).

Асимметрия эмпирического распределения определяется равенством

,

где m₃ - центральный эмпирический момент третьего порядка (см. § 2).

Эксцесс эмпирического распределения определяется равенством

,

где m₄ — центральный эмпирический момент четвертого порядка.

Моменты т₃ и m₄ удобно вычислять методом произведений (см. § 4), используя формулы (***) § 3.

Пример. Найти асимметрию и эксцесс эмпирического распределения:

варианта 10,2 10,4 10,6 10,8 11,0 11,2 11,4 11,6 11,8 12,0

частота 2 3 8 13 25 20 12 10 6 1

Решение. Воспользуемся методом произведений, для чего составим расчетную табл. 10. Поскольку в § 4 указано, как заполняются столбцы 1—5 таблицы, ограничимся краткими пояснениями: для заполнения столбца 6 удобно перемножать числа каждой строки столбцов 3 и 5; для заполнения столбца 7 удобно перемножать числа каждой строки столбцов 3 и 6. Столбец 8 служит для контроля вычислений по тождеству:

Контроль:=9141;

.

Таблица 10

1	2	3	4	5	6	7	8
xi	ni	ui	niui	niui2	niui3	niui4	ni(ui+1)4
10,2	2	-4	-8	32	-128	512	162
10,4	3	-3	-9	27	-81	243	48
10,6	8	-2	-16	32	-64	128	8
10,8	13	-1	-13	13	-13	13	-
11,0	25	0	-4620		-286		25
11,2	20	1	20	20	20	20	320
11,4	12	2	24	48	96	192	972
11,6	10	3	30	90	270	810	2560
11,8	6	4	24	96	384	1536	3750
12,0	1	5	5	25	125	625	1296
			103		895
	n=100

Совпадение сумм свидетельствует о том, что вычисления произведены правильно.

В примере § 4 для рассматриваемого распределения было найдено: = 0,57; = 3,83; D_в = 0,14, следовательно,

Найдем условные моменты третьего и четвертого порядка:

;.

Найдем центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядка:

= [6,09 – 3*0,57* 3,83 + 2* (0,57)³]* 0, 2³= - 0,0007;

т4 =

= [40,79 – 4*0,57*6,09 + 6(0,57)²*3,83 – 3* (0,57)⁴]* 0,2₄ = 0,054.

Найдем асимметрию и эксцесс:

;

.

Замечание. В случае малых выборок к оценкам асимметрии и эксцесса следует относиться с осторожностью и определить точность этих оценок (см.: Смирнов Н. В. и Дунин-Барковский И. В. Курс теории вероятностей и математической статистики. М., «Наука», 1965, с. 277).

Задачи

В задачах 1 —2 даны выборочные варианты и их частоты. Найти, пользуясь методом произведений, выборочные среднюю и дисперсию.

x_i 10,3 10,5 10,7 10,9 11,1 11,3 11,5 11,7 11,9 12,1 n_i 4 7 8 10 25 15 12 10 4 5

Отв. =11,19, D_в = 0,19.

2.

x_i 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101

n_i 6 7 12 15 30 10 8 6 4 2

Отв. = 90,72, D_в = 17,20.

3. Найти асимметрию и эксцесс эмпирического распределения

x_i 10,6 10,8 11,0 11,2 11,4 11,6 11,8

n_i 5 10 17 30 20 12 6

Отв. a_s = - 0,0006, e_k=0,00004.

Глава восемнадцатая ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОРРЕЛЯЦИИ