§ 3. Генеральная средняя

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность относительно количественного признака X.

Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

Если все значения x₁, х₂, …, x_N признака генеральной совокупности объема N различны, то

.

Если же значения признака x₁, х₂, …, x_k имеют соответственно частоты N₁, N₂, ..., N_k , причем N₁ +N₂+…+N_k=N ,то

,

т. е. генеральная средняя есть средняя взвешенная значений признака с весами, равными соответствующим частотам.

Замечание. Пусть генеральная совокупность объема N содержит объекты с различными значениями признака X, равными x₁, х₂, …, x_N. Представим себе, что из этой совокупности наудачу извлекается один объект. Вероятность того, что будет извлечен объект со значением признака, например x₁ очевидно, равна 1/N. С этой же вероятностью может быть извлечен и любой другой объект. Таким образом, величину признака X можно рассматривать как случайную величину, возможные значения которой x₁, х₂, …, x_n имеют одинаковые вероятности, равные 1 /N. Найдем математическое ожидание М(Х):

Итак, если рассматривать обследуемый признак X генеральной совокупности как случайную величину, то математическое ожидание признака равно генеральной средней этого признака:

.

Этот вывод мы получили, считая, что все объекты генеральной совокупности имеют различные значения признака. Такой же итог будет получен, если допустить, что генеральная совокупность содержит по нескольку объектов с одинаковым значением признака.

Обобщая полученный результат на генеральную совокупность с непрерывным распределением признака X, и в этом случае определим генеральную среднюю как математическое ожидание признака:

.

§ 4. Выборочная средняя

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака X извлечена выборка объема п.

Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения x₁, х₂, …, x_n признака выборки объема n различны, то

Если же значения признака x₁, х₂, …, x_k имеют соответственно частоты n₁, n₂, …, n_k, причем п₁ + п₂+… + n_k = n, то

,

или

,

т.е. выборочная средняя есть средняя взвешенная значений признака с весами, равными соответствующим частотам.

Замечание. Выборочная средняя, найденная по данным одной выборки, есть, очевидно, определенное число. Если же извлекать другие выборки того же объема из той же генеральной совокупности, то выборочная средняя будет изменяться от выборки к выборке. Таким образом, выборочную среднюю можно рассматривать как случайную величину, а следовательно, можно говорить о распределениях (теоретическом и эмпирическом) выборочной средней и о числовых характеристиках этого распределения (его называют выборочным), в частности о математическом ожидании и дисперсии выборочного распределения.

Заметим, что в теоретических рассуждениях выборочные значения x₁, х₂, …, x_n признака X, полученные в итоге независимых наблюдений, также рассматривают как случайные величины X_l, X₂, ..., Х_n, имеющие то же распределение и, следовательно, те же числовые характеристики, которые имеют X.