§ 4. Свойства функции распределения двумерной случайной величины

Свойство 1. Значения функции распределения удовлетворяют двойному неравенству

0≤F(x,y,)≤1

Доказательство. Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность - всегда неотрицательное число, не превышающееединицу.

Свойство 2. F (х, у) есть неубывающая функция по каждому аргументу, т.е.

F(x₂,y,)≥ F(x₁,y,) если х₂ > х₁; F(x,y₂)≥ F(x,y₁), если у₂ > у₁.

Доказательство. Докажем, что F(x,у) - неубывающая функция по аргументу х. Событие, состоящее в том, что составляющая X примет значение, меньшее х₂ и при этом составляющая Y < у, можно подразделить на следующие два несовместных события:

1)X примет значение, меньшее х₁, и при этом Y < у с вероятностью Р (X < х₁, Y < у);

2)X примет значение, удовлетворяющее неравенству х₁≤Х <х₂, и при этом Y < у с вероятностью Р(х₁≤Х <х₂, Y <у).

По теореме сложения,

Р(Х<х₂, Y<у) = Р(Х<х₁, Y<у) + Р(х₁≤Х <х₂,Y<у).

Отсюда

Р(Х<х₂, Y<у)-Р(Х<х₁,Y<у) = Р(х₁≤Х <х₂, Y<у),

или

F (x₂, у) - F (х₁, у) = Р (х₁≤Х <х₂, Y<у).

Любая вероятность есть число неотрицательное, поэтому

F (x₂, у)- F (х₁, у)≥ 0,

или

F (x₂, у)≥ F (х₁, у)

что и требовалось доказать.

Свойство становится наглядно ясным, если воспользоваться геометрическим истолкованием функции распределения как вероятности попадания случайной точки в бесконечный квадрант с вершиной (x; у) (рис. 13). При возрастании x правая граница этого квадранта сдвигается вправо; при этом вероятность попадания случайной точки в «новый» квадрант, очевидно, не может уменьшиться.

Аналогично доказывается, что F (x, у) есть неубывающая функция по аргументу у.

Свойство 3. Имеют место предельные соотношения:

1) F(-∞, y) = 0,

2) F(x, -∞) = 0,

3) F(-∞, -∞) = 0,

4) F(∞, ∞) = 1.

Доказательство. 1) F(-∞, y) есть вероятность события X<-∞ и Y<у, но такое событие невозможно (поскольку невозможно событие X<-∞), следовательно, вероятность этого события равна нулю.

Свойство становится наглядно ясным, если прибегнуть к геометрической интерпретации: при x→-∞ правая граница бесконечного квадранта (рис. 13) неограниченно сдвигается влево и при этом вероятность попадания случайной точки в квадрант стремится к нулю.

2) Событие Y < -∞невозможно, поэтому F(x, -∞) = 0.

3) Событие X < -∞ и Y < -∞, невозможно, поэтомуF(-∞, -∞) = 0.

4) Событие X < ∞ и Y < ∞, достоверно, следовательно, вероятность этого события

F(∞, ∞) = 1.

Свойство становится наглядно ясным, если принять во внимание, что при х→∞ и у→∞ бесконечный квадрант (рис. 13) превращается во всю плоскость хОу и, следовательно, попадание случайной точки (X; У) в эту плоскость есть достоверное событие.

Свойство 4. а) При у=∞ функция распределения системы становится функцией распределения составляющей X:

F(x,∞)=F₁(x)

б) При х=∞ функция распределения системы становится функцией распределения составляющей Y:

F(у,∞)=F₂(у).

Доказательство. а) Так как событие Y<∞ достоверно, то F (х,∞) определяет вероятность события X<x, т.е. представляет собой функцию распределения составляющей X.

б) Доказывается аналогично.