§ 15. Понятие о множественной корреляции

До настоящего параграфа рассматривалась корреляционная связь между двумя признаками. Если же исследуется связь между несколькими признаками, то корреляцию называют множественной.

В простейшем слу- и чае число признаков я равно трем и связь между ними линейная:

z = ах + bу + с.

В этом случае возникают задачи:

1) найти по данным наблюдений выборочное уравнение связи вида

z = Ах+Ву+С, (*)

т. е. требуется найти коэффициенты регрессии A и В и параметр С;

2) оценить тесноту связи между Z и обоими признаками X, Y;

3) оценить тесноту связи между Z и Х (при постоянном Y), между Z и Y (при постоянном X).

Первая задача решается методом наименьших квадратов, причем вместо уравнения (*) удобнее искать уравнение связи вида

z—= А (х—)++В (у—),

где

;

.

х	nx		nxx	nxx2	nxx3	nxx4	nx	nxx	nxx2
1	8	6	8	8	8	8	48	48	48
1.1	33	6,73	36,3	39,93	43,93	48,32	222,09	244,30	268,73
1,2	9	7,5	10,8	12,96	15,55	18,66	67,50	81	97,20
	50	—	55,1	60,89	67,48	74,98	337,59	373,30	413,93

Здесь r_xz, r_yz, r_xy —коэффициенты корреляции соответственно между признаками Х и Z, Y и Z, Х и Y;

σ_x, σ_y, σ_z —средние квадратические отклонения.

Теснота связи признака Z с признаками X, Y оценивается выборочным совокупным коэффициентом корреляции

,

причем 0≤R≤1.

Теснота связи между Z и Х (при постоянном Y), между Z и Y (при постоянном X) оценивается соответственно частными выборочными коэффициентами корреляции:

;

.

Эти коэффициенты имеют те же свойства и тот же смысл, что и обыкновенный выборочный коэффициент корреляции, т. е. служат для оценки линейной связи между признаками.

Задачи

В задачах 1—2 даны корреляционные табл. 21 и 22. Найти:

а) r_в; б) выборочные уравнения прямых регрессии; в) η_yx и η_xy.

Отв. к задаче 1. а) 0,636; б) =1,17x+16,78, =0,345у+1,67; в) η_yx =0,656, η_xy =0,651.

Таблица 21

1.

Y	x
	5	10	15	20	ny
10	2	—	—	—	2	5
20	5	4	1	—	10	8
30	3	8	6	3	20	12,25
40	—	3	6	6	15	16
50	—	—	2	1	3	16,67
nx	10	15	15	10	n=50
	21	29,33	36	38

Таблица 22

2.

Y	x
	65	95	125	155	185	215	ny
30	5	—	—	—	—	—	5	65
40	4	12	—	—	—	—	16	87,5
50	—	8	5	4	—	—	17	101,18
60	—	1	5	7	2	—	15	145
70	—	—	—	—	1	1	2	200
nx	9	21	10	11	3	1	n = 55
	34,44	44,76	55	56,36	63,33	70

Отв. к задаче 2. а) 0,825; б) =0,23х+21,78, =2,92у—27,25; в) η_yx =0,859, η_xy =0,875.

В задачах 3—4 найти выборочные уравнения регрессии =Ах²+Вх+С по данным корреляционных табл. 23 и 24.

Таблица 23

Y	х
	2	3	5	ny
25	20	—	—	20
45	—	30	1	31
110	—	1	48	49
nx	20	31	49	n=100

Отв. =2,94x²+7,27х—1,25.

Таблица 24

Y	x
	1	2	ny
2	30	1	31
6	1	18	19
nx	31	19	n = 50

Отв. =0,39х²+2,49х—0,75.

Глава девятнадцатая

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ