ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ

МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО. ЦЕПИ МАРКОВА

Глава двадцать первая

МОДЕЛИРОВАНИЕ (РАЗЫГРЫВАНИЕ) СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО

§ 1. Предмет метода Монте-Карло

Датой рождения метода Монте – Карло принято считать 1949 г.. когда американские ученые Н. Метрополис и С. Улам опубликовали статью «Метод Монте-Карло», в которой систематически его изложили. Название метода связано с названием города Монте – Карло, где в игорных домах (казино) играют в рулетку из простейших устройств для получения случайных чисел на использовании которых основан этот метод.

ЭВМ позволяют легко получать так называемые псев­дослучайные числа (при решении задач их применяют вместо случайных чисел); это привело к широкому внедрению метода во многие области науки и техники (статистическая физика, теория массового обслуживания, теория игр и др.). Метод Монте-Карло используют для вычис­ления интегралов, в особенности многомерных для решения систем алгебраических уравнений высокого порядка для исследования различного рода сложных систем (автоматического управления, экологических, биологических и т.д.).

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую величину X, математическое ожидание которой равно а:

Практически же поступают так: производят п испытаний, в результате которых получают n возможных значении X, вычисляют их среднее арифметическое

и принимают х в качестве оценки (приближенного значе­ния) а* искомого числа а:

Поскольку метод Монте—Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода указы­вает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину X, как найти ее возможные значения. В част­ности, разрабатываются способы уменьшения дисперсии используемых случайных величин, в результате чего уменьшается ошибка, допускаемая при замене искомого математического ожидания а его оценкой а*.

Отыскание возможных значений случайной величины X (моделирование) называют «разыгрыванием случайной ве­личины». Изложим лишь некоторые способы разыгрывания случайных величин и укажем, как оценить допускаемую при этом ошибку.

§ 2. Оценка погрешности метода Монте—Карло

Пусть для получения оценки а* математического ожидания а случайной величины Х было произведено п независимых испытаний (разыграно п возможных значе­ний X) и по ним была найдена выборочная средняя , ко­торая принята в качестве искомой оценки: а*=х. Ясно, что если повторить опыт, то будут получены дру­гие возможные значения X, следовательно, другая сред­няя, а значит, и другая оценка а*. Уже отсюда следует, что получить точную оценку математического ожидания невозможно. Естественно, возникает вопрос о величине допускаемой ошибки. Ограничимся отысканием лишь верхней границы δ допускаемой ошибки с заданной ве­роятностью (надежностью) γ:

Интересующая нас верхняя граница ошибки δ есть не что иное, как «точность оценки» математического ожидания по выборочной средней при помощи доверительных ин­тервалов, о которой уже шла речь в гл. XVI. Поэтому воспользуемся результатами, полученными ранее, и рас­смотрим следующие три случая.

1. Случайная величина Х распределена нормально и ее среднее квадратическое отклонение σ известно. В этом случае с надеж­ностью γ верхняя граница ошибки (см. гл. XVI, § 15)

(*)

где п—число испытаний (разыгранных значений X); t— значение аргумента функции Лапласа, при котором Ф(t)=γ/2, а—известное среднее квадратическое откло­нение X.

Пример 1. С надежностью γ =0,95 найти верхнюю границу ошибки σ, если для оценки математического ожидания нормальной величины Х с известным средним квадратическим отклонением, равным 0,5, было разыграно 100 возможных значений X.

Решение. По условию, n=100, σ=0,5, Ф(t)= 0,95/2 =0,475. По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим t=1,96. Искомая верхняя граница ошибки δ= 1,96·0,5/==0,098.

2. Случайная величина Х распределена нормально, причем ее среднее квадрати­ческое отклонение σ неизвестно. В этом слу­чае с надежностью γ верхняя граница ошибки (см. гл. XVI, § 16)

(**)

где п—число испытаний; s—«исправленное» среднее квад­ратическое отклонение, t_γ находят по таблице приложе­ния 3.

Пример 2. С надежностью γ =0,95 найти верхнюю границу ошибки δ, если для оценки математического ожидания нормальной величины Х было разыграно 100 ее возможных значений и по ним найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s ==0,5. Решение. По условию, n=100, s=0,5. Используя таблицу приложения 3, по γ =0,95, n=100 находим t_γ,=1,984. Искомая верхняя граница ошибки δ = 1,984·0,5/ =0,099.

3. Случайная величина Х распределена по закону, отличному от нормального. В этом случае при достаточно большом числе испытаний (n>30) с надежностью, приближенно равной γ, верхняя граница ошибки может быть вычислена по формуле (*), если среднее квадратическое отклонение σ случайной ве­личины Х известно; если же σ неизвестно, то можно подставить в формулу (*) его оценку s—«исправленное» среднее квадратическое отклонение либо воспользоваться формулой (**). Заметим, что чем больше п, тем меньше различие между результатами, которые дают обе формулы. Это объясняется тем, что при п — распределение Стьюдента стремится к нормальному (см. гл. XVI, § 16, замечание). В частности (примеры 1 и 2), при n =100, γ=0,95 верхняя граница ошибки равна 0,098 по формуле (*) и 0,099 по формуле (**). Как видим, результаты раз­личаются незначительно.

Замечание. Для того чтобы найти наименьшее число испы­таний, которые обеспечат наперед заданную верхнюю границу ошибки δ, надо выразить n из формул (*) и (**):

Например, если δ==0,098, t=1,96, =0,5, то минимальное число испытаний, при которых ошибка не превысит 0,098, равно

п=1,9б2·0,5²/0,098²=100.