§ 9. Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины

Напомним предварительно, что если случайная величина R распределена равномерно в интервале (0,1), то ее математическое ожидание и дисперсия соответственно равны (см. гл. XII, § 1, замечание 3):

M(R)=1/2, (*)

D(R)=1/2. (**)

Составим сумму п независимых, распределенных рав­номерно в интервале (0,1) случайных величин R_j(j=1, 2, ...,n):

(***)

Для нормирования этой суммы найдем предварительно ее математическое ожидание и дисперсию.

Известно, что математическое ожидание суммы слу­чайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Сумма (***) содержит п слагаемых, матема­тическое ожидание каждого из которых в силу (*) равно 1/2; следовательно, математическое ожидание суммы (***)

Известно, что дисперсия суммы независимых случай­ных величин равна сумме дисперсий слагаемых. Сумма (***) содержит n независимых слагаемых, дисперсия каж­дого из которых в силу (**) равна 1/12; следовательно, дисперсия суммы (***)

Отсюда среднее квадратическое отклонение суммы (***)

Пронормируем рассматриваемую сумму, для чего выч­тем математическое ожидание и разделим результат на среднее квадратическое отклонение:

В силу центральной предельной теоремы при п→∞ распределение этой нормированной случайной величины стремится к нормальному с параметрами а=0 и σ=1. При конечном п распределение прибли­женно нормальное. В частности, при п = 12 получим достаточно хорошее и удобное для расчета приближение

Правило. Для того чтобы разыграть возможное зна­чение x_i нормальной случайной величины Х с парамет­рами а=0 и σ=1, надо сложить 12 независимых слу­чайных чисел и из полученной суммы вычесть 6:

Пример, а) Разыграть 100 возможных значений нормальной вели­чины Х с параметрами а=0 и σ=1; б) оценить параметры разыг­ранной величины.

Решение. а) Выберем 12 случайных чисел из первой строки таблицы *⁾, сложим их и из полученной суммы вычтем 6; в итоге имеем

x_i=(0,10+0,09+...+0,67) - 6= - 0,99.

Аналогично, выбирая из каждой следующей строки таблицы пер­вые 12 чисел, найдем остальные возможные значения X.

б) Выполнив расчеты, получим искомые оценки:

Оценки удовлетворительные: а* близко к нулю, σ* мало отличается от единицы.

Замечание. Если требуется разыграть возможное значение z_i, нормальной случайной величины Z с математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением σ, то, разыграв по пра­вилу настоящего параграфа возможное значение x_i, находят искомое возможное значение по формуле

z_i=σx_i+a.

Эта формула получена из соотношения (z_i-a)/σ=x_i.

Задачи

1. Разыграть 6 значений дискретной случайной величины X, закон распределения которой задан в виде таблицы

X	2	3,2	10
p	0,18	0,24	0,58

Указание. Для определенности принять, что выбраны слу­чайные числа: 0,73; 0,75; 0,54; 0,08; 0,28; 0,53. Отв. 10; 10; 10; 2; 3; 22; 10.

2. Разыграть 4 испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,52.

Указание. Для определенности принять, что выбраны слу­чайные числа: 0;28; 0,53; 0,91; 0,89.

Отв. А,,.

3. Заданы вероятности трех событий, образующих полную группу: Р(А₁)=0,20, Р(А₂)=0,32, Р(А₃)=0,48. Разыграть 6 испытаний, в каждом из которых появляется одно из заданных событий.

Указание. Для определенности принять, что выбраны слу­чайные числа: 0,77; 0,19; 0,21; 0,51; 0,99; 0,33.

Отв. А₃, А₁, А₂, А₂, А₃, А₂.

4. События А и В независимы и совместны. Разыграть 5 испы­таний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,5, а события В—0,8.

Указание. Составить полную группу событий: А₁=АВ, для определенности принять случайные числа: 0,34; 0,41; 0,48; 0,21; 0,57.

Отв. А₁, А₂, А₂, А₁, А₃.

5. События А, В, С независимы и совместны. Разыграть 4 испы­тания в каждом из которых вероятности появления событий заданы: Р(А)=0,4, Р(В)=0,6, Р(С)=0,5.

Указание. Составить полную группу событий: для определенности принять, что выбраны случайные числа: 0,075; 0,907; 0,401; 0,344.

Отв.А₁, А₈, А₄, А₄.

6. События А и В зависимы и совместны. Разыграть 4 испытания, в каждом из которых заданы вероятности: Р(А)=0,7, Р(В)=0,6, Р(АВ)=0,4.

Указание. Составить полную группу событий: А₁=АВ, для определенности принять случайные числа: 0,28; 0,53; 0,91; 0,89.

Отв. А₁, А₂ , А₄ , А₃.

7. Разыграть 3 возможных значения непрерывной случайной величины X, которая распределена по показательному закону и задана функцией распределения F(х)=1 - е^-10x.

Указание. Для определенности принять, что выбраны слу­чайные числа: 0,67; 0,79; 0,91.

Отв. 0,04; 0,02; 0,009.

8. Разыграть 4 возможных значения непрерывной случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (6,14).

Указание. Для определенности принять, что выбраны слу­чайные числа: 0,11: 0,04; 0,61; 0,93.

Отв. 6,88; 6,32; 10,88; 13,44.

9. Найти методом суперпозиции явные формулы для разыгрывания непрерывной случайной величины X, заданной функцией рас­пределения

F(x)=1- (1/3)(2е-^2x+е^-3x:), 0<х<∞.

Отв. х= - (1/2)1п r₂, если r₁< 2/3; х= - (1/3)1п r₂, если r₁≥2/3.

10. Найти явную формулу для разыгрывания непрерывной слу­чайной величины X, заданной плотностью вероятности f(х) =b/(1 +ax)² в интервале 0≤x≤1/(b-a); вне этого интервала f(x)=0.

Отв. х_i= - r_i/(b - ar_i).

11. Разыграть 2 возможных значения нормальной случайной величины с параметрами: а) а=0, σ=1; б) а =2, σ=3.

Указание. Для определенности принять случайные числа (далее указано число сотых долей; например, числу 74 соответствует слу­чайное число r₁=0,74): 74. 10, 88, 82. 22, 88, 57, 07, 40, 15, 25, 70; 62, 88, 08, 78, 73, 95, 16, 05, 92, 21, 22, 30.

Отв. а) x₁= - 0,22, x₂= - 0.10; 6) z₁=1,34, z₂=2,70.

Глава двадцать вторая

ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ЦЕПЯХ МАРКОВА