§ 5. Разыгрывание противоположных событий

Пусть требуется разыграть испытания, в каждом из которых событие А появляется с известной вероят­ностью р и, следовательно, не появляется с вероятностью q=1—р.

Введем в рассмотрение дискретную случайную вели­чину Х с двумя возможными значениями (для определен­ности примем х₁=1,, х₂=0) и соответствующими им ве­роятностями р₁=р, р₂ = q. Условимся считать, что если в испытании величина Х приняла возможное значение х₁=1, то событие А наступило; если Х=х₂=0, то собы­тие A не наступило, т. е. появилось противоположное событие .

Таким образом, разыгрывание противоположных собы­тий А и сведено к разыгрыванию дискретной случай­ной величиныХ с заданным законом распределения:

X	1	0
p	p	q

Для разыгрывания Х надо (по правилу § 4) интервал (0, 1) разбить точкой р на два частичных интервала: ∆₁—(0, р) и ∆₂—(р, 1). Затем выбирают случайное число r_j,. Если r_j, попадает в интервал ∆_1, то Х = х₁ (наступило событие A); если r_j, попадает в интервал ∆₂, то Х =x₂=0 (событие A не наступило).

Правило. Для того чтобы разыграть испытания, в каж­дом из которых вероятность появления события равна р и, следовательно, вероятность наступления противополож­ного события A равна 1- р, надо выбрать (например, из таблицы случайных чисел) случайное число r_j-(j=1, 2, ...); если r_j<р, то событие A наступило; если r_j≥р, то появилось противоположное событие .

Пример. Разыграть 6 испытаний, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р=0,35.

Решение.Выберем из таблицы приложения 9 шесть случайных чисел, например: 0,10; 0,36; 0,08; 0,99; 0,12; 0,06. Считая, что при r_j<0,35 событие А появилось, а при r_j≥0,35 наступило противо­положное событие , получим искомую последовательность событий: A,,A,,A,A.

§ 6. Разыгрывание полной группы событий

Разыгрывание полной группы п (п > 2) несов­местных событий A₁, A₂,…, A_n. вероятности которых р₁, р₂,…,р_n известны, можно свести к разыгрыванию дискретной случайной величины Х со следующим законом распределения (для определенности примем х₁= 1, х₂=2, …, х_n=n);

X	1	2	…	n
p	p1	p2	…	pn

Действительно, достаточно считать, что если в испы­тании величина Х приняла значение х_i=i (i=1, 2, … , п), то наступило событие A_i,. Справедливость этого утвержде­ния следует из того, что число п возможных значений Х равно числу событий полной группы и вероятности воз­можных значений х_i, и соответствующих им событий A_i одинаковы: Р (X == х_i) = Р(A_i)=р_i,. Таким образом, появ­ление в испытании события A равносильно событию, состоящему в том, что дискретная случайная величина Х приняла возможное значение х_i.

Правило. Для того чтобы разыграть испытания, в каж­дом из которых наступает одно из событий А₁, А₂,…, А_n полной группы, вероятности которых р₁, р₂,…, р_n из­вестны, достаточно разыграть (по правилу § 4) дискретную случайную величину Х со следующим законом распреде­ления:

X	1	2	…	n
p	p1	p2	…	pn

Если в испытании величина Х приняла возможное зна­чение х_i=i , то наступило событие А_i.

Пример 1. Заданы вероятности четырех событий, образующих полную группу: р₁=Р(A₁)=0,19, р₂=Р(A₂)=0,21, р₃=Р(A₃)=0,34 р₄=Р(A₄)=0,26. Разыграть 5 испытаний, в каждом из которых появляется одно из четырех заданных событий.

Решение. В соответствии с правилом, приведенным в настоящем параграфе, надо разыграть дискретную случайную величину X, закон распределения которой

X	1	2	3	4
p	0,19	0,21	0,34	0,26

По правилу § 4 разобьем интервал (0,1) на четыре частичных интервала: ∆₁—(0; 0,19), ∆₂,—(0,19; 0,40), ∆₃,—(0,40; 0,74), ∆₄— (0,74; 1). Выберем из таблицы приложения 9 пять случайных чисел, например: 0,66; 0,31; 0,85; 0,63; 0,73. Так как случайное число r₁=0,66 gринадлежит интервалу ∆₃, то Х=3, следовательно, наступило собы­тие А₃,. Аналогично найдем остальные события.

Итак, искомая последовательность событий такова:

А₃, А₂, А₄, А₃, А₃.

Пример 2. События А и В независимы и совместны. Разыграть 6 испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,6, а вероятность появления события В равна 0,2.

Решение. Возможны 4 исхода испытания:

А₁=АВ, причем в силу независимости событий Р(АВ)= Р (А)-Р (В)=0.6·0.2=0,12;

А₂=, причемР()= 0,6·0,8 =0.48;

А₃= , причем Р() = 0,4·0,2 = 0,08;

А₄=, причем Р () =0,4·0,8 =0,32.

Таким образом, задача сведена к разыгрыванию полной группы четырех событий: А₁с вероятностью р₁=0,12, А₂ с вероятностью р₂=0,48, А, с вероятностью р₃ = 0,08 и А₄ свероятностью р₄=0,32.

В свою очередь, в соответствии с правилом настоящего пара­графа эта задача сводится к разыгрыванию дискретной случайной величины X, закон распределения которой

X	1	2	3	4
p	0,12	0,48	0,08	0,032

Используем правило § 4. Выберем 6 случайных чисел, например; 0,45; 0,65; 0,06; 0,59; 0,33; 0,70. Построим частичные интервалы: ∆₁—(0; 0,12), ∆₂—(0,12; 0,60); ∆₃—(0,60; 0,68); ∆₄—(0,68; 1). Слу­чайное число r₁=0,45 принадлежит интервалу ∆₂, поэтому наступило событие А₂=. Аналогично найдем исходы остальных испытаний.

Итак, искомая последовательность исходов разыгранных испыта­ний такова: ,, АВ, ,,.

Пример 3. События A и В зависимы и совместны. Разыграть 4 испытания, в каждом из которых заданы вероятности Р(A)=0,6; Р(В)=0,6; Р(AВ)=0,5.

Решение. Возможны 4 исхода испытания:

А₁=АВ, причем, по условию, Р(АВ)=0,5;

А₂=, причем Р()=Р(А)—Р(АВ)=0,8—0,5=0,3;

А₃=, причем Р()=Р(В)—Р (АВ)=0,6—0,5==0,1;

А₄=, причем Р()=1 — [Р (А₁)+Р(А₂)+Р (А₃)]= 1— (0,5+0,34-0,1)=0.1.

Таким образом, задача сведена к разыгрыванию полной группы четырех событий: А₁ с вероятностью 0,5, А₂ с вероятностью 0,3, А₃ с вероятностью 0,1 и А₄ с вероятностью 0,1.

Рекомендуем закончить решение самостоятельно, считая для определенности, что выбраны случайные числа: 0,65; 0,06; 0,59; 0,33.

Для контроля приводим ответ: , АВ,, АВ.

Пояснение.Так как А=АВ+ ,тоР(А)=Р(АВ)+Р (). Отсюда Р()=Р(А)—Р(АВ).

Аналогично получим, что Р ()=Р (В)—Р (АВ).