§ 14. Условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величин

Пусть (X, Y) - непрерывная двумерная случайная величина.

Условной плотностью (x|у) распределения составляющих X при данном значении Y = у называют отношение плотности совместного распределения f (x,у) системы (X,Y) к плотности распределения f₂(y) составляющей Y:

. (*)

Подчеркнем, что отличие условной плотности φ(x|у) от безусловной плотности f₁ (x) состоит в том, что функция φ(x|у) дает распределение X при условии, что составляющая Y приняла значение Y = у; функция же f₁ (x) дает распределение X независимо от того, какие из возможных значений приняла составляющая Y.

Аналогично определяется условная плотность составляющей Y при данном значении Х = x:

. (**)

Если известна плотность совместного распределения f (х, у), то условные плотности составляющих могут быть найдены в силу (*) и (**) (см. § 12) по формулам:

, (***)

. (****)

Запишем формулы (*) и (**) в виде

, .

Отсюда заключаем: умножая закон распределения одной из составляющих на условный закон распределения другой составляющей, найдем закон распределения системы случайных величин.

Как и любая плотность распределения, условные плотности обладают следующими свойствами:

;

.

Пример. Двумерная случайная величина (X,Y) задана плотностью совместного распределения

Найти условные законы распределения вероятностей составляющих.

Решение. Найдем условную плотность составляющей X при по формуле (***)

.

Так как=0 приx²+y²>r₂, то =0 при .

Пользуясь формулой (****), аналогично найдем условную плотность составляющей Y:

.

§ 15. Условное математическое ожидание

Важной характеристикой условного распределения вероятностей является условное математическое ожидание.

Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Y при Х=x (x - определенное возможное значение X) называют произведение возможных значений Y на их условные вероятности:

(*)

Для непрерывных величин

,

где - условная плотность случайной величиныYприX=x.

Условное математическое ожидание M (Y|x) есть функция отx:

M (Y|x)=f(x),

которую называют функцией регрессии Y на X.

Аналогично определяются условное математическое ожидание случайной величины X и функция регрессии X на Y:

M (X|y)=φ(y).

Пример. Дискретная двумерная случайная величина задана табл. 5.

Таблица 5

Y	X
	x1= 1	x2= 3	x3= 4	x4 = 8
y1=3 y2=6	0,15 0,30	0,06 0,10	0,25 0,03	0,04 0,07

Найти условное математическое ожидание составляющей Y при Х=х₁=1.

Решение. Найдем р (x_i), для чего сложим вероятности, помещенные в первом столбце табл. 5:

p(x₁) = 0,15 + 0,30 = 0,45.

Найдем условное распределение вероятностей величины Y при Х = x₁=1 (см. § 13):

p(y₁|x₁)= p(x₁,y₁)/p(x₁)= 0,15/0,45 = 1 /3;

p(y₂|x₁)= p(x₂,y₂)/p(x₁)= 0,30/0,45 = 2/3.

Найдем искомое условное математическое ожидание по формуле (*):