§ 14. Связь между двусторонней критической областью и доверительным интервалом

Легко показать, что, отыскивая двустороннюю критическую область при уровне значимости α, тем самым находят и соответствующий доверительный интервал с надежностью γ =1—α. Например, в § 13, проверяя нулевую гипотезу Н₀: а = а₀ при Н₁: а ≠ а₀, мы требовали, чтобы вероятность попадания критерия в двустороннюю критическую область была равна уровню значимости α, следовательно, вероятность попадания критерия в область принятия гипотезы (— u_кр, u_кр) равна 1—α =γ. Другими словами, с надежностью γ выполняется неравенство

,

или равносильное неравенство

.

Мы получили доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения при известном σ с надежностью γ (см. гл. XVI, §15).

Замечание. Хотя отыскание двусторонней критической области и доверительного интервала приводит к одинаковым результатам, их истолкование различно: двусторонняя критическая область определяет границы (критические точки), между которыми заключено (1—α)% числа наблюдаемых критериев, найденных при повторении опытов; доверительный же интервал определяет границы (концы интервала), между которыми в γ=(1—α)% опытов заключено истинное значение оцениваемого параметра.

§ 15. Определение минимального объема выборки при сравнении выборочной и гипотетической генеральной средних

На практике часто известна величина (точность) δ > 0, которую не должна превышать абсолютная величина разности между выборочной и гипотетической генеральной средними. Например, обычно требуют, чтобы средний размер изготовляемых деталей отличался от проектного не более чем на заданное δ. Возникает вопрос:

каким должен быть минимальный объем выборки, чтобы это требование с вероятностью γ==1—α(α—уровень значимости) выполнялось?

Поскольку задача отыскания доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения при известном σ и задача отыскания двусторонней критической области для проверки гипотезы о равенстве математического ожидания (генеральной средней) гипотетическому значению (см. § 13, п. А) сводятся одна к другой {см. § 14), воспользуемся формулой (см. гл. XVI, § 15)

n = u²_крσ²/δ².

где u_кр находят по равенству Ф (u_кр) = γ/2 == (1—α)/2.

Если же α неизвестно, а найдена его оценка s, то (см. § 13, п. Б)

n = t²_{двуст. кр}(α; k)·s²/δ².

§ 16. Пример на отыскание мощности критерия

Приведем решение примера на нахождение мощности критерия.

Пример. По выборке объема n=25, извлеченной из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением σ=10, найдена выборочная средняя =18. При уровне значимости 0,05 требуется:

а) найти критическую область, если проверяется нулевая гипотеза Н₀: а = а₀ = 20, о равенстве генеральной средней гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе Н₁: а < 20;

б) найти мощность критерия проверки при а₀=16.

Решение. а) Так как конкурирующая гипотеза имеет вид а < а₀, критическая область—левосторонняя.

Пользуясь правилом 3 (см. § 13, п. А), найдем критическую точку:

u'_кр= — 1,65. Следовательно, левосторонняя критическая область определяется неравенством U < —1,65, или подробнее

.

Отсюда < 16,7.

При этих значениях выборочной средней нулевая гипотеза отвергается; в этом смысле =16,7 можно рассматривать как критическое значение выборочной средней.

б) Для того чтобы вычислить мощность рассматриваемого критерия, предварительно найдем его значение при условии справедливости конкурирующей гипотезы (т. е. при a₀==16), положив = 16,7:

.

Отсюда видно, что если < 16,7, то U < 0,35. Поскольку при < 16,7 нулевая гипотеза отвергается, то и при U < 0,35 она также отвергается (при этом конкурирующая гипотеза справедлива, так как мы положили a₀==16).

Найдем теперь, пользуясь функцией Лапласа, мощность критерия, т. е. вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, если справедлива конкурирующая гипотеза (см. § 7):

Р(U < 0,35) = Р(—∞ < U < 0,35) = Р(—∞ < U < 0) +

+ Р(0< U < 0,35) = 0,5+Ф(0,35)=0,5+0,1368=0,6368.

Итак, искомая мощность рассматриваемого критерия приближенно равна 0,64. Если увеличить объем выборки, то мощность увеличится.

Например, при n = 64 мощность равна 0,71. Если увеличить α, то мощность, также увеличится. Например, при α = 0,1 мощность равна 0,7642.

Замечание. Зная мощность, легко найти вероятность ошибки второго рода: β=1—0,64. (Разумеется, при решении примера можно было сначала найти β, а затем мощность, равную 1—β.)