§ 5. Отыскание правосторонней критической области

Как найти критическую область? Обоснованный ответ на этот вопрос требует привлечения довольно сложной теории. Ограничимся ее элементами. Для определенности начнем с нахождения правосторонней критической области, которая определяется неравенством К > k_кр, где k_кр > 0. Видим, что для отыскания правосторонней критической области достаточно найти критическую точку. Следовательно, возникает новый вопрос: как ее найти?

Для ее нахождения задаются достаточной малой вероятностью—уровнем значимости α. Затем ищут критическую точку k_кр, исходя из требования, чтобы при условии справедливости нулевой гипотезы вероятность того, что критерий К примет значение, большее k_кр, была равна принятому уровню значимости:

Р(К > k_кр) = α.

Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым и находят критическую точку, удовлетворяющую этому требованию.

Замечание 1. Когда критическая точка уже найдена, вычисляют по данным выборок наблюденное значение критерия и, если окажется, что K_набл > k_кр, то нулевую гипотезу отвергают; если же К_набл < k_кр, то нет оснований, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу.

Пояснение. Почему правосторонняя критическая область была определена исходя из требования, чтобы при справедливости нулевой гипотезы выполнялось соотношение

Р(K > k_кр) = α? (*)

Поскольку вероятность события К > k_кр мала (α — малая вероятность), такое событие при справедливости нулевой гипотезы, в силу принципа практической невозможности маловероятных событий, в единичном испытании не должно наступить (см. гл. II, § 4). Если все же оно произошло, т. е. наблюдаемое значение критерия оказалось больше k_кр, то это можно объяснить тем, что нулевая гипотеза ложна и, следовательно, должна быть отвергнута. Таким образом, требование (*) определяет такие значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а они и составляют правостороннюю критическую область.

Замечание 2. Наблюдаемое значение критерия может оказаться большим k_кр не потому, что нулевая гипотеза ложна, а по другим причинам (малый объем выборки, недостатки методики эксперимента и др.). В этом случае, отвергнув правильную нулевую гипотезу, совершают ошибку первого рода. Вероятность этой ошибки равна уровню значимости α. Итак, пользуясь требованием (*), мы с вероятностью α рискуем совершить ошибку первого рода.

Заметим кстати, что в книгах по контролю качества продукции вероятность признать негодной партию годных изделий называют «риском производителя», а вероятность принять негодную партию — «риском потребителя».

Замечание 3. Пусть нулевая гипотеза принята; ошибочно думать, что тем самым она доказана. Действительно, известно, что один пример, подтверждающий справедливость некоторого общего . утверждения, еще не доказывает его. Поэтому более правильно говорить «данные наблюдений согласуются с нулевой гипотезой и, следовательно, не дают оснований ее отвергнуть».

На практике для большей уверенности принятия гипотезы ее проверяют другими способами или повторяют эксперимент, увеличив объем выборки.

Отвергают гипотезу более категорично, чем принимают. Действительно, известно, что достаточно привести один пример, противоречащий некоторому общему утверждению, чтобы это утверждение отвергнуть. Если оказалось, что наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то этот факт и служит примером, противоречащим нулевой гипотезе, что позволяет ее отклонить.