Цифровая схемотехника
1.2.6. Операция исключающее ИЛИ
Операция исключающее ИЛИ определена для двух и более высказываний. Обозначается операция значком ^ , например, Х1 ^ Х2. Результат операции исключающее ИЛИ истинен, когда истинно одно и только одно из входящих в него высказываний, и ложен в противном случае. Данную операцию еще называют операцией один и только один (табл. 1.7).
|
|
|
|
|
|
|
Табл. 1.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
x2 |
x1^x2 |
|
x1 |
x2 |
x3 |
x1^x2^x3 |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2.7. Операция сложение по модулю два
Операция сложение по модулю два определена для двух и более высказываний. Обозначается операция значком , например, Х1Х2. Результат операции сложение по модулю два истинен, когда истинно нечетное количество входящих в него высказываний, и ложен в противном случае (табл. 1.8).
|
|
|
|
|
|
|
Табл. 1.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
x2 |
x1 x2 |
|
x1 |
x2 |
x3 |
x1 x2 x3 |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Операция сложение по модулю два для двух высказываний совпадает с операцией исключающее ИЛИ.
8
Комбинационные схемы
1.2.8. Операция эквиваленция
Операция эквиваленция определена для двух и более высказываний. Обозначается операция значком ~ , например, Х1 ~ Х2. Результат операции эквиваленция истинен, когда все входящие в нее высказывания истинны или все входящие в нее высказывания ложны, и ложен в противном случае(табл. 19.).
|
|
|
|
|
|
|
Табл. 1.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
x2 |
x1~x2 |
|
x1 |
x2 |
x3 |
x1~x2~x3 |
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кроме вышеперечисленных операций, можно определить еще две бинарные операции: импликация и запрет.
1.2.9. Операция импликация
Операция импликация определена только для двух высказываний. Обозначается операция значком → , например, Х1 → Х2 (читается Х1 имплицирует Х2). Результат операции импликация ложен, когда первое входящее в него истинно, а второе ложно, и истинен в противном случае. Для этой операции несправедлив коммутативный закон
(табл. 1.10).
Табл. 1.10
й |
ц |
йдц |
цдй |
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1.2.10. Операция запрет
Операция запрет также определена только для двух высказываний. Обозначается операция значком ← , например, Х2 ← Х1 (читается справа налево: Х1 запрещает Х2). Результат операции запрет истинен, когда одно из входящих в него высказываний (запрещающее) ложно, а
9
Цифровая схемотехника
другое (запрещаемое) истинно, и ложен в противном случае. Для этой операции также несправедлив коммутативный закон(табл. 1.11).
|
|
|
|
Табл. 1.11 |
|
й |
ц |
цжй |
йжц |
||
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1.2.11. Другие операции
Можно определить еще несколько операций:
-Операция N и только N для m высказываний, где N < m. Определяется по аналогии с операцией один и только один: результат операции истинен, когда истинно N и только N из входящих в него высказываний, и ложен в противном случае. Например, два и только два для трех высказываний.
-Пороговая функция с логическим порогом N для m высказы-
ваний, где N < m. Определяется следующим образом: результат операции истинен, когда истинно N и более из входящих в него высказываний, и ложен в противном случае. Например, пороговая функция с логическим порогом два для трех высказываний.
-Операция мажоритарность для нечетного числа высказываний. Определяется следующим образом: результат операции истинен, когда истинных высказываний больше, чем ложных, и ложен в противном случае. Например, мажоритарность для трех высказываний. Аналитически операция записывается так:
й#ц#у |
(1.4) |
Таблица истинности для этих операций (табл. 1.12): |
|
|
Табл. 1.12 |
й ц у
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
Пороговая |
|
|
2 и только 2 |
функция |
й#ц#у |
|
с логическим |
|||
|
|
||
|
порогом 2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
10
Комбинационные схемы
Для операций N и только N и пороговой функции нет символов для аналитической записи, но есть обозначения логических элементов, реализующих данный операции.
Для трех высказываний пороговая функция с логическим порогом два совпадает с операцией мажоритарность.
1.3. Функционально полные системы
Число функций для n аргументов ограничено, например, в случае n=2 получается всего 16 функций, из которых лишь десять существенно зависят от обоих аргументов (x1,x2) (табл. 1.13):
Табл. 1.13
|
N |
x1 |
x2 |
f0 |
f1 |
f2 |
f3 |
f4 |
f5 |
f6 |
f7 |
f8 |
f9 |
f10 |
f11 |
f12 |
f13 |
f14 |
f15 |
|
||||||||
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
|
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
|
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
& x1 x2 ~ x2 x1 | 1 |
|||||||||||||||||||
Все функции, записанные в таблице, можно записать, используя |
||||||||||||||||||||||||||||
определенные выше операции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
f0 |
≡ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– константа 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
f15 ≡ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– константа 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
f3 ≡ x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– совпадает с аргументом x1, |
|
|
||||||||||||||||
f5 ≡ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– совпадает с аргументом x2, |
|
|
||||||||||||||||
f12 ≡ x1 |
|
|
|
|
|
|
|
– отрицание x1, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– отрицание x2, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
f10 ≡ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
f7(x1,x2) ≡ x1 x2 |
|
|
– операция ИЛИ, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
f1(x1,x2) ≡ x1 & x2 |
|
|
– операция И, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
f14(x1,x2) ≡ x1 | x2 |
|
|
– штрих Шеффера, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
f8(x1,x2) ≡ x1 x2 |
|
|
– стрелка Пирса, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
f6(x1,x2) ≡ x1 ^ x2 |
|
|
– исключающее ИЛИ, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
f9(x1,x2) ≡ x1 ~ x2 |
|
|
– эквиваленция, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
f13(x1,x2) ≡ x1 x2 |
|
|
– x1 имплицирует x2, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
f11(x1,x2) ≡ x2 x1 |
|
|
– x2 имплицирует x1, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
f2(x1,x2) ≡ x1 x2 |
|
|
– x2 |
запрещает x1, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
f4(x1,x2) ≡ x2 |
x1 |
|
|
– x1 |
запрещает x2. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Принцип суперпозиции позволяет использовать определенные выше операции для построения других, более сложных функций, например:
11