Цифровая схемотехника

Это значит, что любую функцию алгебры логики можно записать с помощью одной операции штрих Шеффера.

Аналогично эти операции можно выразить и через операцию стрелка Пирса.

1.4.4. Свойства остальных операций

Для операций импликация и запрет несправедливы коммутативный и ассоциативный законы (доказательство по таблице истинности).

Операции импликация и запрет могут быть выражены через функции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания (доказательство по таблице истинности):

Операции отрицание, конъюнкция и дизъюнкция выражаются через операцию импликация и константу 0.

Отрицание:

Конъюнкция:

йцъЙДЫъ(йды)д0ъ(йд(цд0))д0 (1.44)

Это значит, что любую функцию алгебры логики можно записать с помощью операции импликация и константы 0.

Аналогично эти операции можно выразить через операцию запрет и константу 1.

Для операций эквивалентность, сложение по модулю два и ис-

ключающее ИЛИ очевидно справедлив коммутативный закон, а справедливость или несправедливость ассоциативного закона можно определить по таблице истинности.

Можно показать, как данные операции выражаются через основной базис:

1.5. Аналитическая запись функций алгебры логики

Нахождение кратчайшей аналитической записи функции алгебры логики в некотором базисе называется минимизацией. Лучше всего разработаны методы минимизации для базиса, состоящего из операций дизъюнкция, конъюнкция и отрицание. Но прежде чем проводить минимизацию, необходимо записать функцию, заданную, например, с помощью таблицы истинности, в выбранном базисе. Для этого исполь-

16

Комбинационные схемы

зуют так называемые дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы.

1.5.1. Дизъюнктивные нормальные формы

Элементарной конъюнкцией, или импликантой, называется конъюнкция, состоящая из нескольких аргументов, причем каждый аргумент входит в нее не более одного раза, например:

фцу, йыу, йц, цв, у

Рангом элементарной конъюнкции называется количество аргументов, входящих в эту конъюнкцию.

В предыдущем примере у первых двух конъюнкций ранг равен трем, у двух следующих – двум, у последней – один.

Элементарная конъюнкция, в которую входят все аргументы данной функции, называется элементарной конъюнкцией высшего ранга, или минтермом. Можно показать, что минтерм – это функция, которая равна 1 на одном наборе и 0 – на всех остальных, т.е. для n аргументов можно записать 2n минтермов (по числу наборов).

Чтобы записать минтерм для i-того набора нужно записать конъюнкцию всех аргументов функции, причем если аргумент входит в данный набор как 0, то он пишется с отрицанием, а если как 1 – без отрицания. Например, для функции трех аргументов (см. табл 1.1) минтерм набора номер 7, в который все аргументы входят как 1:

Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется дизъ-

юнкция элементарных конъюнкций. У функции может быть несколько ДНФ.

ДНФ для функции f(x1 x2…xn ), состоящая только из минтермов,

называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой

(СДНФ). Можно показать, что любую функцию алгебры логики, тождественно не равную 0, можно записать в СДНФ. Для этого нужно выписать минтермы тех наборов, на которых функция равна 1, и объединить их знаками дизъюнкции. Например, для следующей функции:

это и есть СДНФ данной функции.

Минимальной ДНФ (МДНФ) называется ДНФ, содержащая наименьшее операций дизъюнкция и конъюнкция по сравнению с другими ДНФ данной функции. У функции может быть несколько МДНФ.

17

Цифровая схемотехника

Упрощение ДНФ может быть достигнуто за счет уменьшения числа входящих в ДНФ элементарных конъюнкций и за счет уменьшения ранга самих конъюнкций. Ранг элементарных конъюнкций может быть уменьшен путем их попарного сравнения и склеивания. Самые короткие элементарные конъюнкции, возможные для данной функции АЛ,

называются простыми импликантами.

Очевидно, что МДНФ должна состоять из простых импликант. У функции может быть несколько ДНФ, состоящих только из простых импликант. ДНФ, в которую входят все возможные простые импликанты данной функции, называется Сокращѐнной дизъюнктивной нормальной формой (СокрДНФ).

Тупиковой ДНФ (ТДНФ) функции АЛ называется такая ДНФ, состоящая из простых импликант, у которой при удалении из неѐ любой импликанты получаемая в результате ДНФ не является эквивалентной исходной. Очевидно, что МДНФ функции является одной из еѐ ТДНФ. Другими словами, для получения МДНФ необходимо среди ТДНФ функции выбрать ту, которая содержит наименьшее число операций.

1.5.2. Конъюнктивные нормальные формы

Элементарной дизъюнкцией называется дизъюнкция, нескольких аргументов, причем каждый аргумент входит в нее не более одного раза.

Рангом элементарной дизъюнкции называется количество аргументов, входящих в эту дизъюнкцию.

Элементарная дизъюнкция, куда входят все аргументы функции, называется элементарной дизъюнкцией высшего ранга, или макстермом. Можно показать, что макстерм – это функция, которая равна 0 на одном наборе и 1 – на всех остальных, т.е. для n аргументов можно записать 2n макстермов (по числу наборов).

Чтобы записать макстерм для i-того набора, нужно записать дизъюнкцию всех аргументов функции, причем если аргумент входит в данный набор как 1, то он пишется с отрицанием, а если как 0 – без отрицания. Например, для функции трех аргументов макстерм набора номер 0, в который все аргументы входят как 0, запишется так:

Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется конъ-

юнкция элементарных дизъюнкций. У функции может быть несколько КНФ.

КНФ для функции f(x1 x2…xn ), состоящая только из макстермов,

называется совершенной конъюнктивной нормальной формой

(СКНФ). Можно показать, что любую функцию алгебры логики, тожде-

18