Комбинационные схемы

г(йцуке5)ър(1,2,5,6,8,10,12,13,14,18,21,22,29)

3. Минимизировать функцию шести аргументов с помощью карты Карно:

г(йцуке5е6)ър(4,6,12,13,14,15,20,22,28,29,30, 31,34,35,42,43,45,47,48,49,56,57,61,63)

4. Минимизировать частично заданную функцию четырех аргументов с помощью карты Карно:

г(йцук)ър(0,2,4,6,7,9)ь(12,13,14,15)

5. Минимизировать частично заданную функцию пяти аргументов с помощью карты Карно:

г(йцуке5)ър(2,3,4,10,11,18,19,20,26,27,31)ь(1, 5,9,13,17,21,25,29)

6. Найти МКНФ функции четырех аргументов с помощью карты Карно:

г(йцук)ър(1,8,9,12,14)

7. Найти МКНФ функции пяти аргументов с помощью карты Карно:

г(йцуке5)ър(7,8,10,12,14,15,16,18,20,22,23,31)

8. Найти МКНФ частично заданной функции четырех аргументов с помощью карты Карно:

г(йцук)ър(2,3,4,10,11,12,15)ь(1,5,9,13)

9. Найти МКНФ частично заданной функции пяти аргументов с помощью карты Карно:

г(йцуке5)ър(3,8,10,12,13,14,19,24,26,28,30)ь(4,5, 6,7,20,21,22,23)

3.3. Совместная минимизация функций алгебры логики

Алгебра логики используется для описания и синтеза комбинационных схем, таких как преобразователи кодов, дешифраторы, шифраторы, мультиплексоры и т.д. Комбинационная схема, у которой n входов и m выходов (рис. 3.20) может быть описана системой m логических функций от n переменных (3.5).

щъщ(й,ц,…,еn)

. . . . . . . .

гmъгm(й,ц,…,еn)

55

Цифровая схемотехника

Рис. 3.20

Синтез комбинационной схемы можно представить как синтез отдельных m функций, т.е. для каждой из них находится МДНФ и затем рисуется общая схема. Однако чаще всего схему можно упростить, если учесть, что все эти функции описывают одну комбинационную схему, т.е. собираются вместе. Для этого проводится совместная минимизация этих функций.

3.3.1. Совместная минимизация методом общих простых импликант

Один из вариантов упрощения комбинационной схемы заключается в том, что можно попытаться использовать одни и те же логические элементы в разных функциях, описывающих эту схему. Для этого необходимо постараться найти одинаковые (или «общие») простые импликанты у нескольких функций, а затем использовать их в аналитической записи этих функций. Это можно сделать разными способами, например методом Квайна, при этом записывается ДСНФ системы функций с указанием принадлежности минтермов к конкретным функциям, приводятся склеивания (с учетом принадлежности) и т.д.

Рассмотрим нахождение общих простых импликант с помощью карт Карно. Очевидно, что общие импликанты соответствуют одинаковым прямоугольникам накрытия на картах, т.е. для эффективной совместной минимизации необходимо для всех функций, которые требуется реализовать для синтеза данной комбинационной схемы, построить карты Карно и стараться накрывать единицы в картах так, чтобы было как можно больше одинаковых прямоугольников.

Рассмотрим нахождение общих простых импликант на примере следующей системы функций:

ш(йцук)ър(0,1,3,4,5,7,8,10,11,12,14,15) щ(йцук)ър(0,1,4,5,8,10,12,14) з(йцук)ър(3,5,7,11,13,15)

Сначала минимизируем функции раздельно, по очереди, начиная с f1, для чего рисуем карту Карно, строим прямоугольники накрытия (рис. 3.21) и записываем функцию:

шъвамфкмйу

56

Комбинационные схемы

(рис. 3.22б), накрываем единицы прямоугольниками и записываем МДНФ. Получаем следующую систему функций:

щъфвмйа

01 1 1

11 1 1 1 1

в)

Рис. 3.22

57

Цифровая схемотехника

Всего получилось одиннадцать операций не считая отрицаний. Для реализации схемы на элементах И-НЕ нужно преобразовать дизъюнкцию в конъюнкцию по закону де Моргана, тогда для схемы понадобится девять 2-входовых элементов И-НЕ и один 3-входовый (не считая инверторов).

Однако если нарисовать карты Карно одновременно для всех функций и сравнить, то можно увидеть, что для функции f1 можно построить прямоугольники накрытия по-другому (рис. 3.22в). При этом у функций f1 и f2 оказываются по два одинаковых прямоугольника (показаны штрих-пунктирной линией), и у f1 и f3 – по одному. Поэтому функции можно переписать так:

шъфвмйамукъФВчЙАчУК (3.7)

щъфвмйаъФВчЙА

зъукмцкъУКчЦК

Количество операций осталось то же, но при создании схемы по формулам 3.7 понадобится меньшее число логических элементов, т.к. одни и те же элементы (отмечены одинаковыми волнистыми линиями) будут использованы в разных функциях. Схема показана на рис. 3.23. Понадобилось шесть 2-входовых элементов И-НЕ и один 3-входовый (не считая инверторов).

Рис. 3.23

Часто при совместной минимизации одинаковые прямоугольники могут быть и не простыми импликантами, например для следующей системы функций:

ш(йцук)ър(0,4,9,10,11,13,14,15) щ(йцук)ър(0,1,3,4,5,7,10,14)

При раздельной минимизации по картам Карно (рис. 3.24) МДНФ каждой функции (3.8) содержит по шесть операций (не считая отрица-

58

Комбинационные схемы

ний), и одинаковых простых импликант у них нет.

Но если попытаться построить одинаковые прямоугольники (как показано на рис. 3.25), то схема (рис. 3.26) получится проще, хотя записи функций и содержат большее число операций:

шъфвамйкмйуаъФВАчЙКчЙУА (3.9)

щъфвамфкмйуаъФВАчФКчЙУА

При этом записи функций уже не являются МДНФ, но совпадающие конъюнкции (подчеркнуты соответствующими волнистыми линиями) позволяют построить схему с использованием меньшего числа логических элементов.

Можно сформулировать общие правила совместной минимизации функций алгебры логики методом общих простых импликант с помо-

59