Материал презентаций по физике / Лекции для заочников / Физика для гуманитариев_1 / Вотинов_Перминов_Физика

3. О ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ

Числовые значения величин, с которыми приходится иметь дело при решении задач, являются большей частью приближенными. Прежде чем вести разговор о правилах приближенных вычислений, дадим определение значащей цифры числа. Значащими цифрами числа называются все его цифры, кроме нулей, стоящих левее первой, отличной от нуля цифры, а также кроме нулей, стоящих в конце числа взамен неизвестных или отброшенных цифр. Нуль в конце числа может быть значащим, если он является представителем сохраненного десятичного разряда.

Такими величинами являются, в частности, многие константы, приводимые в справочниках. Например: ускорение свободного падения g = 9,81 ì/ñ2, число пи = 3,14, масса электрона me = 9,1 · 10–31 кг и т. п. При более точном вычислении или измерении числовые значения этих величин будут содержать большее число значащих цифр g = 9,80655 ì/ñ2,= 3,1416, ò = 9,106 · 10–31 кг. Однако и эти значения, в свою очередь, являются приближенными или в силу недостаточной точности измерения, или в силу того, что получены путем округления еще более точных значений.

Часто неопытные лица добиваются при вычислениях получения такой точности результатов, которая совершенно не оправдывается точностью использованных данных. Это приводит к бесполезной затрате труда и времени.

Рассмотрим следующий пример. Пусть требуется определить плотность вещества некоторого тела. При взвешивании тела на весах с точ-

262

Но числа 9,38 и 3,46 — приближенные. Последние цифры в этих числах сомнительные. Эти числа при измерении могли быть получены такими: первое — 9,39 или 9,37, второе — 3,45 или 3,47. В самом деле, при взвешивании с указанной выше точностью могла быть допущена ошибка на 0,01 как в сторону увеличения массы, так и в сторону ее уменьшения. То же самое и в отношении объема. Таким образом, плотность тела, если ее вычислять с точностью до пятого десятичного знака, как это сделано выше, могла оказаться = 9,39/3,45 = 2,7214 г/см3 èëè = 9,37/3,47 = 2,70029 ã/ñì3.

Сравнение всех трех результатов показывает, что они отличаются уже вторыми десятичными знаками и что достоверным является лишь первый десятичный знак, а второй — сомнительным. Цифры, выражающие остальные десятичные знаки, совершенно случайны и способны лишь ввести в заблуждение пользователя вычисленными результатами. Следовательно, работа по вычислению большинства знаков затрачена впустую. Во избежание бесполезных затрат труда и времени принято вычислять кроме достоверных знаков еще только один сомнительный. В рассмотренном примере надо было вести вычисление до второго десятичного знака:

r m 9,38 ã/ñì3 2,71 ã/ñì3.

V3,46

Приближенные вычисления следует вести с соблюдением следующих правил.

1.При сложении и вычитании приближенных чисел окончательный результат округляют так, чтобы он не имел значащих цифр в тех разрядах, которые отсутствуют хотя бы в одном из слагаемых. Например, при сложении чисел 4,462 + 2,38 + 1,17273 + 1,0262 = 9,04093 следует сумму округлить до сотых долей, т. е. принять ее равной 9,04, так как слагаемое 2,38 задано с точностью до сотых долей.

2.При умножении (делении) следует округлить сомножители так, чтобы в них содержалось на одну значащую цифру больше, чем их имеет сомножитель с наименьшим числом таких цифр. Окончательный результат перемножения (деления) следует округлить так, чтобы в нем содержалось такое же количество значащих цифр, сколько их было в сомножителе

ñнаименьшим числом значащих цифр. Например, вместо выражения 3,723 2,4 5,1846 следует вычислять выражение 3,72 2,4 5,18 46.

3.При возведении в квадрат или куб следует в степени брать столько

значащих цифр, сколько их имеется в основании степени. Например, 1,322 1,74.

263

4. МЕХАНИКА.

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

4.1.Примеры решения задач

¹1. Автомобиль проехал половину пути со скоростью 60 км/ч, оставшуюся часть пути он половину времени двигался со скоростью 35 км/ч, а последний участок — со скоростью 45 км/ч. Найти среднюю скорость автомобиля на всем пути. Найти стоимость поездки, если автомобиль находился в пути 2 ч. Средний расход бензина 10 л на 100 км пути. Стоимость 1 л бензина принять равной 23 руб.

Решение

Пусть за время T автомобиль прошел весь путь L, тогда среднюю скорость движения автомобиля определим по формуле

ãäå t1 , t2 , t3 — время движения на первом, втором и третьем участках пути соответственно. Полагаем, что на каждом участке автомобиль движется прямолинейно и равномерно. В этом случае

Согласно условию задачи 2 3 L2. Подставим в последнее выражение значения 2 è 3 , полученные из (2):

v2 t2 v3 t3 L.

2

Учитывая, что по условию задачи t2 t3 , для этих промежутков времени получим:

265

Подставим выражения для t1 èç (2), äëÿ t2 è t3 из (3) в исходную формулу (1). После сокращения на L и преобразований, для средней скорости получим:

Значения скоростей v1 , v2 , v3 при подстановке в расчетную формулу

(4) можно не переводить в систему СИ. В этом случае мы получим:

v 2 60 45 35 48 êì/÷. 45 35 2 60

Найдем путь, пройденный автомобилем L v t 48 2 92 км. Несложно понять, что автомобиль израсходовал 9,2 л бензина, тогда стоимость поездки N 9,2 23 211,6 ðóá.

¹ 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону:= 10 + 20t – 2t2. Найти величину полного ускорения точки, находящейся на расстоянии 0,1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 ñ.

Решение

Каждая точка вращающегося тела описывает окружность. Полное

ускорение точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как

геометрическая сумма тангенциального a , направленного по касатель-

ной к траектории, и нормального an , направленного к центру окружности. Тогда модуль полного ускорения

Тангенциальное и нормальное ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами:

266

где — угловое ускорение тела; R — расстояние до точки от оси вращения;— угловая скорость тела. Подставляя формулы (2) и (3) в (1), находим

Угловая скорость вращающегося тела равна первой производной от угла поворота по времени: ddt 20 4t. В момент времени t = 4 с угловая скорость = (20 – 4 · 4) = 4 рад/с.

Угловое ускорение вращающегося тела равно первой производной от угловой скорости по времени: ddt 4 ðàä/ñ2. Это выражение не содержит аргумента времени t, следовательно, угловое ускорение имеет постоянное значение, не зависящее от времени.

Подставив значения и в формулу (4), получим

à( 4)2 44 1,65 ì/ñ2.

¹3. Из орудия вылетает снаряд со скоростью v0 = 1000 м/с под углом 30° к горизонту (сопротивление воздуха не учитывать). Определить: максимальную высоту подъема, время движения, дальность полета снаряда.

Решение

Траекторией движения снаряда будет парабола. Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно представить как сложное, состоящее из двух простых: равномерного — в горизонтальном направлении и равнопеременного — в вер- тикальном. Это оказывается возможным потому, что полное ус- корение тела (ускорение свободно-

го падения g) направлено верти-

кально вниз.

На чертеже обозначим оси x è y, траекторию движения, начальную скорость v0, угол бросания ,

максимальную высоту подъема h, дальность полета S. Разложим вектор

v0 на горизонтальную и вертикальную составляющие (спроецируем на

оси координат) v0x = v0cos , v0y = v0sin . Запишем уравнения для координат и проекций вектора скорости. По горизонтали (вдоль оси x):

267

Это движение равнопеременное.

Из рисунка видно, что в верхней точке траектории проекция вектора скорости на ось 0y равна нулю. Тогда из уравнения (3) можно найти время подъема:

Максимальную высоту подъема найдем из уравнения (4), подставив в него вместо y высоту h и время подъема:

Время полета можно также найти из уравнения (4), если учесть, что при приземлении снаряд имеет нулевую вертикальную координату (y = 0):

Сравнив формулы (5) и (7), придем к выводу, что tïîë 2tïîä . Дальность полета определяется из формулы (2) путем подстановки в нее вы-

Подставим в формулы (6)–(8) исходные данные, сделаем расчет

èполучим: h 25 103 ì; tïîë = 100 ñ; S 86,6 103 ì.

¹4. Лифт опускается вниз и перед остановкой движется замедленно. Определить, с какой силой P (вес тела) будет давить на пол лифта че-

268

269

му отсчета. Так как силы направлены под углом друг к другу, то систему отсчета составим из двух взаимно перпендикулярных осей x è y, развернув ее так, чтобы одна ось была направлена вдоль наклонной плоскости, а другая — перпендикулярно ей.

Работу постоянной силы Fò определим по формуле

Fò сонаправлен с вектором S, поэтому угол = 0 è cos = 1 (см. рисунок).

A = 3 · 103(0,2 + 10 · 0,5 + 0,1 · 10 · 0,87)50 = 0,9 · 106 Дж. Известно, что 1 кВт·ч = 3,6 · 106 Дж. Тогда стоимость подъема тележки

0,9 106 2

N 0,5 ðóá. 3,6 106

270