Материал презентаций по физике / Лекции для заочников / Физика для гуманитариев_1 / Вотинов_Перминов_Физика

мое несколькими движущимися зарядами (токами), равно векторной

сумме полей Bi , порождаемых каждым зарядом (током) в отдельности:

Закон Био — Савара — Лапласа

Био и Савар провели в 1820 г. исследование магнитных полей, создаваемых токами, текущими по тонким проводам различной формы. Лаплас проанализировал экспериментальные данные, полученные Био и Саваром, и установил зависимость, которая получила название закона Био — Савара — Лапласа. Согласно этому закону магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма (суперпозиция) полей, создаваемых отдельными элементарными участками тока. Для маг-

нитной индукции поля, создаваемого элементом тока длиной d , Лаплас получил формулу

ãäå 0 — магнитная постоянная, 0 = 4 · 10–7 Ãí/ì, ãäå Ãí (генри) — åäè-

ница индуктивности, см. разд. 3.3.7; d — вектор, совпадающий с элементарным участком тока и направленный в ту сторону, в какую течет ток

(ðèñ. 3.21); r — вектор, проведенный от элемента тока в ту точку, в кото-

рой определяется dB; r — модуль этого вектора.

Вектор dB перпендикулярен плоскости, прохо-

131

Приведем некоторые примеры полей, которые можно рассчитать с помощью закона Био — Савара — Лапласа.

Пример 1. Ïîëå прямого тока — тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины.

Линии магнитной индукции поля прямого тока представляют собой систему охватывающих провод концентрических окружностей (рис. 3.22, à). Зависимость магнитной индукции от расстояния r до провода выражается формулой

Пример 2. Ïîëå кругового тока — тока, текущего по тонкому проводнику, имеющему форму окружности радиусом R.

Линии магнитной индукции поля кругового тока изображены на

Ðèñ. 3.22

132

Магнитная индукция на оси кругового тока зависит от расстояния r

(ðèñ. 3.22, â), поэтому контур с током и магнитная стрелка ведут себя одинаково в магнитном поле (которое оказывает на них ориентирующее действие).

Пример 3. Поле соленоида. Соленоид — провод, навитый на цилиндрический каркас. Структура поля соленоида конечной длины показана на рис. 3.22, ã и тоже напоминает поле кругового тока (как поле нескольких витков). Характеристикой соленоида является концентрация витков n N — число витков на единицу длины.

В учении об электромагнетизме большую роль играет воображаемый бесконечно длинный соленоид, равномерно обтекаемый током. У такого соленоида поле оказывается однородным и сосредоточенным

Вне соленоида поле отсутствует.

Пример 4. Ток — совокупность упорядоченно движущихся зарядов создает магнитное поле. С помощью закона Био — Савара — Лапласа

можно также получить выражение для магнитной индукции поля, созда-

ваемого отдельным точечным зарядом q, движущимся со скоростью v:

133

Закон Ампера. Сила Лоренца

Согласно закону, установленному Ампером, на элемент d òîêà I ñî

стороны магнитного поля B действует сила (сила Ампера):

где — угол между векторами d и B.

Направление силы Ампера можно определить по правилу буравчи-

дый элемент тока I2 будет находиться в возбуждаемом током I1 поле, магнитная индукция которого

B1 0 I 1 .

2 b

134

На основании формулы (3.94) устанавливается эталон силы тока в СИ — ампер. Ампер определяется как сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 м один от другого в вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу, равную 2 · 10–7 Н на каждый метр длины.

Сила Ампера (3.92) обусловлена тем, что магнитное поле действует на носители тока. От носителей тока действие силы передается проводнику, по которому они перемещаются. Из выражения для силы Ампера

магнитного поля, не испытывает действия силы (в этом случае = 0).

Направлена магнитная сила перпендикулярно к плоскости, в кото-

рой лежат векторы v è B. Если заряд положителен, направление силы можно определить по правилу левой руки, как для тока (за положительное направления тока принято направление движения положительных зарядов), в случае отрицательного заряда сила направлена в противоположную сторону. На рис. 3.26 показан пример определения направления силы Лоренца, действующей на поло- жительный и отрицательный заряды со стороны магнитного поля (направлен-

ного от нас). Магнитная сила всегда направлена

перпендикулярно к скорости заряженной частицы, поэтому она работы над

частицей не совершает. Следовательно, действуя на заряженную частицу постоянным магнитным полем, изменить ее энергию нельзя. Магнитная сила создает нормальное ускорение заряженной частицы.

135

остается постоянным ( = /2).

В случае, когда частица движется в плоскости с постоянными по модулю скоростью и нормальным ускорением, траекторией является окружность, радиус которой определяется соотношением (1.15): an = v2/R. С учетом (3.97) находим радиус

Радиус окружности зависит от скорости частицы, магнитной индукции поля и отношения заряда частицы к ее массе. Отношение q/m называется удельным зарядом частицы.

Разделив длину окружности 2R на скорость v, получим период обращения частицы, т. е. время, затрачиваемое на один оборот:

Из этой формулы следует, что период обращения частицы не зависит от ее скорости, он определяется только удельным зарядом частицы и магнитной индукцией поля (это обстоятельство лежит в основе действия циклотрона — циклического ускорителя элементарных частиц).

Поток и циркуляция вектора магнитной индукции

Элементарный поток вектора B через поверхность площадью dS с нормалью n

136

вовинтовую систему, берутся со знаком плюс, ток противоположного направления будет отрицательным.

Таким образом, циркуляция вектора B по некоторому контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром, умноженной на

0. Это утверждение называется теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции (в вакууме).

Сравним поток и циркуляцию электростатического и магнитного полей в вакууме. Согласно формулам (3.10), (3.23), (3.102), (3.103):

Сопоставление этих формул показывает, что электростатическое и магнитное поля имеют существенно различный характер. Источниками электростатического поля являются заряды q. Магнитное поле не имеет источников. Циркуляция напряженности электростатического поля равна нулю; следовательно, электростатическое поле потенциально и может быть охарактеризовано потенциалом . Циркуляция вектора магнитной индукции пропорциональна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром. Поэтому магнитному полю нельзя приписать скалярный потенциал, аналогичный потенциалу электростатического поля.

Поле, у которого циркуляция отлична от нуля, называется вихревым

èëè соленоидальным.

Таким образом, в то время как электростатическое поле потенциально, магнитное поле, в отличие от него, является вихревым.

Работа, совершаемая при перемещении тока в магнитном поле

138

В случае, изображенном на рис. 3.29, направление поля и направле-

ние положительной нормали n к контуру совпадают. Поэтому магнит-

ный поток, пронизывающий контур, положителен и равен BS (S — ïëî-

щадь контура). Сила F, действующая на провод в этом случае, направлена вправо и имеет модуль, равный IB . При перемещении провода вправо на dx эта сила совершает над ним положительную работу

dA Fdx IB dx IBdS Id,

ãäå dS — приращение площади контура; dФ — приращение магнитного потока через контур, которое равно потоку, «пересеченному» проводом

при его движении. В данном случае dФ 0. При перемещении провода

влево работа силы F была бы отрицательной. Приращение магнитного потока также было бы отрицательным. Так что в любом случае совершенная над проводом работа равна силе тока, умноженной на пересеченный проводом магнитный поток:

Данное соотношение оказывается справедливым для провода любой формы, а также в случае неоднородного магнитного поля.

Чтобы получить работу, совершаемую в магнитном поле при конеч- ном перемещении провода, нужно просуммировать элементарные работы (3.104), совершаемые на элементарных участках пути. В результате получим, что

где Ф — изменение магнитного потока, пронизывающего контур (или поток, «пересеченный» проводом при его движении); ток в проводе предполагается постоянным.

Отметим, что работа (3.105) совершается не за счет энергии внешнего магнитного поля (это поле остается неизменным), а за счет источника тока, поддерживающего постоянной силу тока I.

Магнитное поле в веществе

Если в магнитное поле B0 , созданное в вакууме, поместить какое-ли- бо вещество, то поле изменяется. Это объясняется тем, что всякое вещество является магнетиком, т. е. способно под действием магнитного поля приобретать магнитный момент (намагничиваться). Намагниченное

139

вещество создает дополнительное поле B , которое складывается с полем

B0 в результирующее поле

Истинное (микроскопическое) поле в магнетике сильно изменяется

в пределах межмолекулярных расстояний. Под B подразумевается усредненное (макроскопическое) поле.

Для объяснения намагничивания тел Ампер предположил, что в молекулах вещества циркулируют круговые токи (молекулярные токи). Каждый такой ток обладает магнитным моментом и создает в окружающем пространстве магнитное поле. В отсутствие внешнего поля молекулярные токи ориентированы беспорядочным образом, поэтому обусловленное ими результирующее поле в среднем равно нулю. Вследствие хаоти- ческой ориентации магнитных моментов отдельных молекул суммарный магнитный момент тела также равен нулю. Под действием внешнего поля магнитные моменты молекул приобретают преимущественную ориентацию в одном направлении, вследствие чего вещество намагничи- вается — его суммарный магнитный момент становится отличным от ну-

ля. Магнитные поля отдельных молекулярных токов в этом случае уже

не компенсируют друг друга, и возникает поле B .

Намагничение вещества естественно характеризовать магнитным

моментом единицы объема. Эту величину называют намагниченностью

и обозначают буквой J:

магнитной индукции B (а следовательно, и B) через любую замкнутую

поверхность равен нулю. Таким образом, теорема Гаусса (3.102) спра-

ведлива не только для поля в вакууме, но и для поля в веществе.

Для того чтобы найти циркуляцию поля B по некоторому контуру,

кроме суммы макроскопических токов, создающих поле B0 , нужно также знать алгебраическую сумму молекулярных токов, охваченных этим контуром, которая, в свою очередь, зависит от B.

140