Материал презентаций по физике / Лекции для заочников / Физика для гуманитариев_1 / Вотинов_Перминов_Физика

f

Близорукие люди носят очки с рассеивающими линзами, оптическая сила которых отрицательна, дальнозоркие — с собирающими линзами.

Еще одной характеристикой линзы является ее линейное увеличение

Принцип Ферма

В однородной среде свет распространяется прямолинейно. В неоднородной среде световые лучи искривляются. Путь, по которому распространяется свет в неоднородной среде, может быть найден с помощью принципа, установленного французским математиком Ферма в 1679 г.

Принцип Ферма гласит, что свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время.

Для прохождения участка пути ds свету нужно время

dt = ds/v = (1/c) nds.

Следовательно, время , затрачиваемое светом на прохождение пути от некоторой точки 1 до точки 2, можно вычислить по формуле

1 2 nds. c 1

181

Согласно принципу Ферма время должно быть минимальным. Поскольку ñ — константа, должна быть минимальна величина

которую называют оптической длиной пути. В однородной среде опти- ческая длина пути равна произведению геометрической длины пути s на показатель преломления среды n:

Принцип Ферма можно сформулировать следующим образом: свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого минимальна.

Законы отражения и преломления можно доказать с помощью принципа Ферма.

4.2. Интерференция света

Световая волна

В волновой оптике под светом понимают электромагнитную волну, распространяющуюся в вакууме со скоростью света (ñì. (3.190))

c 1 0 0 3 108 ì/ñ.

Абсолютный показатель преломления среды (4.3) с учетом (3.190) можно связать с ее электрическими свойствами:

(для большинства прозрачных веществ практически не отличается от единицы).

Плоская электромагнитная волна, распространяющаяся вдоль оси õ, показанная на рис. 3.44, описывается уравнениями (3.190):

182

Значение начальной фазы определяется выбором начал отсчета t èëè x. В электромагнитной волне колеблются два вектора — напряженности электрического и магнитного полей. Как показывает опыт, физиологическое, фотохимическое, фотоэлектрическое и другие действия света вызываются колебаниями электрического вектора. В соответствии с этим будем в дальнейшем говорить о так называемом световом векто-

ðå, подразумевая под ним вектор напряженности электрического поля.

Обозначим модуль амплитуды E m светового вектора буквой A. Закон, по которому изменяется во времени и в пространстве проекция светового вектора (см. рис. 3.44), называется уравнением световой волны:

ãäå A — амплитуда световой волны. Для плоской волны (4.11), распространяющейся в непоглощающей свет среде, A = const.

Для сферической волны A убывает как 1/r:

r

ãäå r — расстояние, отсчитываемое вдоль направления распространения световой волны.

Интенсивность света I (световой волны) согласно (3.194) пропорциональна амплитудам напряженностей электрического и магнитного полей волны, а следовательно (с учетом (3.191)), пропорциональна квадрату амплитуды световой волны:

Длины волн видимого света заключены в пределах:

0 = 400–760 íì.

Ультрафиолетовым называется излучение с длиной волны, меньшей 400 нм, инфракрасным — излучение с длиной волны, большей 760 нм.

Эти значения относятся к световым волнам в вакууме. В случае колебаний частоты длина волны в вакууме 0 = c/ . В среде с показателем преломления n длины световых волн иные: = v/ = c/n, откуда

183

Таким образом, в веществе длина волны в n раз меньше, чем в вакууме.

В случае, если абсолютный показатель преломления среды зависит от частоты (длины волны 0) света, говорят о дисперсии света.

Следствием дисперсии является разложение в спектр (от красного до фиолетового) пучка белого света при прохождении его через призму.

Воспользовавшись условием (3.42) на границе двух диэлектриков, можно показать, что при отражении световой волны от границы среды, оптически менее плотной, со средой, оптически более плотной (при n1 n2), фаза колебаний светового вектора претерпевает изменение на . При отражении от границы раздела среды оптически более плотной со средой оптически менее плотной (при n1 n2) такого изменения фазы не происходит.

Монохроматическая световая волна (т. е. волна с точно определенной частотой), описываемая уравнениями (4.11) или (4.12), представляет собой процесс, не ограниченный во времени и в пространстве (см. рис. 3.44). Такая волна является абстракцией и практически реализоваться не может. В реальной световой волне фаза (а также амплитуда и частота) изменяется беспорядочным образом с течением времени, а также при перемещении от одной точки пространства к другой, поскольку является наложением волн с длинами, заключенными в некотором интервале . В белом свете охватывает весь диапазон воспринимаемых глазом электромагнитных волн, т. е. простирается от 400 до 760 нм. Свет, у которого , называется квазимонохроматическим (лат. «квази» означает «мнимо»).

Интерференция света

Пусть две световые волны одинаковой частоты, накладываясь друг на друга, возбуждают в некоторой точке пространства колебания одинакового направления:

A1 cos (t + 1), A2 cos (t + 2).

Амплитуда A результирующего колебания в данной точке определяется выражением (1.114):

A2 A12 A22 2A1 A2 cos 2 1 ,

а интенсивность света (с учетом (4.13))

184

Если разность фаз 2 – 1, возбуждаемых волнами колебаний, остается постоянной во времени, то волны называются когерентными. Источники таких волн также называются когерентными.

В более широком смысле когерентностью называется согласованное протекание нескольких колебательных или волновых процессов.

Когерентность колебаний, которые совершаются в одной и той же точке пространства, определяемая степенью монохроматичности волн,

называется временной когерентностью.

Âслучае когерентных волн cos ( 2 – 1) имеет постоянное во времени (но свое для каждой точки пространства) значение.

Âтех точках пространства, для которых cos ( 2 – 1) 0, I будет превышать I1 + I2; в точках, для которых cos ( 2 – 1) 0, I будет меньше I1 + I2. Таким образом, при наложении когерентных световых волн происходит перераспределение в пространстве энергии световых электромагнитных волн, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других — минимумы интенсивности. Это явление называется интерференцией света.

Особенно отчетливо интерференция проявляется в том случае, когда интенсивность обеих интерферирующих волн одинакова: I1 = I2. Тогда

согласно (4.15) в минимумах (при ( 2 – 1) = ) интенсивность I = 0,

âмаксимумах (при ( 2 – 1) = 0) интенсивность I = 4I1.

Óреальной световой волны фаза непрерывно хаотически изменяется

во времени. В этом случае разность фаз 2 – 1 непрерывно изменяется, принимая с равной вероятностью любые значения, вследствие чего среднее по времени значение cos ( 2 – 1) равно нулю. Интенсивность в каждой точке пространства, наблюдаемая при наложении некогерентных волн, равна сумме интенсивностей, создаваемых каждой из волн в отдельности:

I = I1 + I2.

При освещении какой-либо поверхности несколькими источниками света (например, двумя лампочками), никакой интерференционной картины с характерным для нее чередованием максимумов и минимумов не наблюдается. Это объясняется тем, что естественные источники света некогерентны. А само понятие когерентности требует более подробного рассмотрения.

185

Когерентность и «механизм» излучения света атомами

По классическим представлениям излучение светящегося тела (газа) слагается из волн, испускаемых его атомами, которые излучают независимо друг от друга. В каждом из таких атомов процесс излучения коне- чен и длится очень короткое время ( 10–8 с). Волна в виде короткого импульса называется волновым цугом (ñì. ðèñ. 1.30, á). За время успевает образоваться цуг волн протяженностью примерно 3 м. На длине цуга укладывается несколько миллионов длин волн (видимого света).

За время возбужденный атом возвращается в нормальное состояние и излучение им света прекращается. Возбудившись вновь, атом снова начинает испускать световые волны, причем фаза нового цуга никак не связана с фазой предыдущего цуга. Так как в любой точке пространства разность фаз колебаний в цугах от двух таких независимых атомов изменяется при каждом новом акте испускания, то волны, спонтанно излу- чаемые атомами любого источника света, некогерентны.

Фаза волны определяется наложением (суперпозицией) огромного числа цугов, порождаемых отдельными атомами, причем фаза результирующей волны претерпевает случайные изменения. Сменяет друг друга в некоторой точке пространства в данный момент времени относительно небольшое число цугов. Подавляющее большинство цугов проходит че- рез рассматриваемую точку не прерываясь. Поэтому фаза волны, образованной наложением огромного числа цугов, порождаемых отдельными атомами, не может совершать больших скачков. Она изменяется случайным образом небольшими шагами или, как говорят, совершает случайные блуждания.

Время êîã, за которое случайное изменение фазы волны достигает значения порядка , называется временем когерентности. За это время колебание как бы забывает свою первоначальную фазу и становится некогерентным по отношению к самому себе.

Соответствующий оценочный расчет показывает, что время когерентности обратно интервалу частот (длин волн ), представленных в данной световой волне:

ãäå v — скорость распространения волны в данной среде. Чем шире интервал частот (длин волн), представленных в волне, тем меньше время когерентности этой волны. Для монохроматической волны = 0 и время когерентности бесконечно велико.

186

Путь волны в среде за время когерентности называется длиной когерентности:

Длина когерентности — то расстояние, на котором случайные изменения фазы волны достигают значения порядка .

Âкачестве примера оценим время и длину когерентности для случая

= 500 нм (зеленая часть спектра) и = 1 нм (1/360 часть видимого спектра). Согласно (4.16) и (4.17)

êîã (1/ñ) 2/ 10–12 ñ, êîã c êîã 0,3 ìì.

Чем ближе волна к монохроматической, тем больше ее время и длина когерентности.

В реальной световой волне амплитуда и фаза колебаний изменяются не только вдоль направления распространения волны, но и в плоскости, перпендикулярной к этому направлению. Когерентность колебаний, которые совершаются в двух точках плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, называется пространственной когерентностью. Случайные изменения разности фаз в двух точках этой плоскости увеличиваются с расстоянием меж-

ду ними. Расстояние rêîã, на котором разность фаз достигает значения порядка , называется

длиной пространственной когерентности èëè радиусом когерентности.

Все пространство, занимаемое волной, можно разбить на части, в каждой из которых волну можно приближенно считать монохроматической, т. е. она обладает когерентными свойствами. Объем такой части пространства,

называемый объемом когерентности, по порядку величины равен произведению длины когерентности на площадь круга с радиусом, равным радиусу когерентности (рис. 4.8).

Интерференционная картина от двух источников

Волны, излучаемые обычными источниками света, являются некогерентными, вследствие чего получить интерференцию волн от таких источников нельзя.

Когерентные световые волны можно получить, разделив (с помощью отражений или преломлений) волну, излучаемую одним источни-

187

ком, на две части. Если затем наложить эти две волны друг на друга, наблюдается интерференция. Разность оптических длин путей, проходимых волнами, не должна превышать длину когерентности, иначе разность фаз накладывающихся колебаний будет изменяться хаотиче- ским образом.

Предположим, что разделение на две когерентные волны происходит в точке Î (рис. 4.9). До точки Ð

первая волна проходит в среде с показателем преломления n1 ïóòü s1, вторая волна проходит в среде с по-

казателем преломления n2 ïóòü s2. Если в точке Î фаза колебания равнаt, то первая волна возбудит в точке Ð колебание A1 cos( (t – s1/v1)),

а вторая волна — колебание A2 cos( (t – s2/v2)), ãäå v1 = c/n1 è v2 = c/n2 — фазовые скорости волн. Следовательно, разность фаз колебаний, возбуждаемых волнами в точке Ð,

где — величина, равная разности оптических длин проходимых волнами путей и называемая оптической разностью хода:

то разность фаз оказывается кратной 2 и колебания, возбуждаемые в точке Ð обеими волнами, будут происходить с одинаковой фазой. Та-

188

ким образом, соотношение (4.20) определяет условие интерференционного максимума.

Если оптическая разность хода равна полуцелому числу длин волн в вакууме:

òî = (2m + 1), так что колебания в точке Ð совершаются в противофазе. Следовательно, соотношение (4.21) определяет условие интерференционного минимума.

Наблюдение интерференции двух волн возможно лишь при оптиче- ских разностях хода, меньших длины когерентности:

Все методы получения когерентных источников света сводятся к одному — разделению одного пучка от источника на две части и дальнейшему их сведению в одну точку. Практически это можно осуществить с помощью щелей (метод Юнга), зеркал (зеркала Френеля), преломляю-

точников S1 è S2 (ðèñ. 4.11).

Область, в которой эти волны перекрываются, называется полем интерференции. В этой области наблюдается чередование мест с максимальной и минимальной интенсивностью света. Если в поле интерференции внести экран, то на нем (область ÂÑ на рис. 4.10) будет видна интерференционная картина, которая имеет вид чередующихся светлых и темных полос. Вычислим координаты этих полос в предположении, что экран параллелен плоскости, в которой лежат источники S1 è S2.

189

откуда

s22 s12 s2 s1 s2 s1 2xd.

Для получения различимой интерференционной картины расстояние d между источниками должно быть значительно меньше расстояниядо экрана. Расстояние õ, в пределах которого образуются интерференционные полосы, также бывает значительно меньше . При этих условиях можно считать, что s2 s1 2 . Тогда s2 s1 xd . Умножив s2 s1 на показатель преломления среды n, получим оптическую разность хода:

Подстановка этого значения в условие (4.20) дает, что максимумы интенсивности будут наблюдаться при следующих значениях õ:

где — длина волны в среде, заполняющей пространство между источниками света и экраном, = 0/n. Подставив значение (4.23) в условие (4.21), получим координаты минимумов интенсивности:

Назовем расстояние между двумя соседними максимумами интенсивности расстоянием между интерференционными полосами, а расстояние

190