Материал презентаций по физике / Лекции для заочников / Физика для гуманитариев_1 / Вотинов_Перминов_Физика

I — скорость v. Как будет показано далее, аналогия между электрическими и механическими колебаниями распространяется и на описывающие их математические уравнения.

Найдем уравнение колебаний в контуре без сопротивления. Условимся считать положительным ток, заряжающий конденсатор (рис. 3.38). Тогда

Для изображенной на рис. 3.38 стадии процесса зарядки конденсатора 1 2 положительно, а dI/dt отрицательна (ток уменьшается). Поэтому справа в уравнении (3.148) стоит знак «минус».

Сделав замену dI d 2 q в уравнении (3.148) и произведя простые

преобразования, придем к дифференциальному уравнению

Получилось уравнение вида (1.92) относительно заряда конденсатора q. Следовательно, заряд на обкладках конденсатора изменяется (колеблется) по гармоническому закону:

Эта частота называется собственной частотой контура. Для периода колебаний получается формула Томсона:

161

Напряжение на конденсаторе отличается от заряда множителем 1/Ñ:

C

Продифференцировав функцию (3.150) по времени, получим выражение для силы тока:

Таким образом, сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе на /2.

Из формул (3.153) и (3.154) следуют выражения для амплитуд напряжения на конденсаторе и силы тока:

U m qm , I m qm 0 .

C

Взяв отношение этих амплитуд и заменив 0 по формуле (3.151), получим соотношение

К этой формуле можно прийти также исходя из того, что наибольшее значение энергии электрического поля CU m2 2 равно наибольшему значе- нию энергий магнитного поля LI m2 2.

Свободные затухающие колебания

Всякий реальный контур (рис. 3.39) обладает сопротивлением. Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего свободные колебания затухают. В этом случае ЭДС самоиндукции в каждый момент времени равна сумме напряжения на конденсаторе и напряжения на сопротивлении, равного IR:

162

Ñматематической точки зрения уравнение (3.158) тождественно

ñуравнением (1.126). Из сопоставления формул (3.157) и (1.125) следует, что электрическое сопротивление R играет роль коэффициента сопро-

тивления среды r.

В случае, когда 0, решение уравнения имеет вид

График функции (3.159) изображен на рис. 3.40.

Логарифмический декремент затухания (1.134)

Вынужденные электромагнитные колебания

Чтобы вызвать вынужденные электромагнитные колебания, нужно, разорвав контур, подать на образовавшиеся контакты переменное напряжение (рис. 3.41):

Это напряжение нужно добавить к ЭДС самоиндукции. В результате соотношение (3.156) примет вид

163

Отношение qC есть напряжение UC на конденсаторе, произведение IR равно напряжению UR на сопротивлении, выражение LdIdt определяет напряжение UL на индуктивности. Поэтому можно на-

Таким образом, сумма напряжений на отдельных элементах контура равна в каждый момент времени напряжению, приложенному извне (см. рис. 3.41).

С учетом введенных ранее обозначений (3.151) и (3.157) уравнение (3.164) перепишем в виде

Это неоднородное (правая часть отлична от нуля) дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение неоднородного уравнения (3.166) равно сумме общего решения (3.159) однородного уравнения (3.158), соответствующего данному неоднородному, и частного решения данного неоднородного уравнения (которое можно найти по виду правой части):

Амплитуду заряда qm и отставание по фазе можно найти, непосредственно подставляя частное решение (3.167) в уравнение (3.166), откуда

164

Общее решение уравнения (3.166), описывающее изменение заряда конденсатора при вынужденных колебаниях:

q q0e t cos ç t qm cos t 2 .

Первое слагаемое в этом уравнении играет заметную роль только в начальной стадии процесса, при так называемом установлении колебаний. С течением времени из-за экспоненциального множителя e– t роль этого слагаемого уменьшается, и через некоторое время им можно пренебречь, сохраняя лишь второе слагаемое.

Таким образом, функция (3.167) описывает установившиеся вынужденные колебания. Они представляют собой гармонические колебания с частотой, равной частоте подаваемого напряжения.

Сила тока при установившихся вынужденных колебаниях в контуре меняется по следующему закону:

dt

где амплитуда тока

Ток отстает от внешнего напряжения по фазе на угол , определяемый соотношением (3.169).

Установившиеся вынужденные электрические колебания можно рассматривать как протекание в цепи переменного тока, обладающей емкостью, индуктивностью и сопротивлением.

Полученное выражение для амплитуды силы тока (3.171) можно формально толковать как закон Ома для амплитудных значений тока и внешнего напряжения. Стоящую в знаменателе этого выражения вели- чину, имеющую размерность сопротивления, обозначают буквой Z и называют полным сопротивлением цепи переменного тока:

165

Величину, стоящую в круглых скобках этого выражения, обознача- ют X и называют реактивным сопротивлением:

При этом величину L называют индуктивным сопротивлением, а величину 1/C — емкостным сопротивлением. Их обозначают соответственно XL è XC. Сопротивление R в этом случае называют активным сопротивлением цепи. Термин «активное сопротивление» используется

âтом смысле, что именно на этом сопротивлении рассеивается энергия

âвиде тепла. Итак,

XL L, XC 1/C, X XL – XC, Z R 2 X 2 . (3.175)

Найдем напряжения на отдельных элементах контура:

CC

166

Резонансные кривые для UC изображены на рис. 3.43, à (резонансные кривые для q имеют точно такой же вид). Резонансные кривые для силы тока изображены на рис. 3.43, á. Амплитуда силы тока (3.171) имеет максимальное значение при

X L 1 C 0,

откуда

Разности потенциалов на индуктивности и емкости имеют при резонансе тока одинаковые амплитуды и противоположные фазы, так что их сумма обращается в нуль, а напряжение на активном сопротивлении оказывается равным ЭДС источника энергии.

Ðèñ. 3.43

На описанном явлении основаны все радиоприемные устройства, неотъемлемой частью которых является колебательный контур с изменяемой резонансной частотой.

Мощность в цепи переменного тока

Мгновенное значение мощности, выделяемой в цепи, равно произведению мгновенных значений напряжения (3.163) и силы тока (3.170):

P(t) U(t)I (t) U 0 cos tI 0 cos t ,

где определяется соотношением (3.169):

167

tg L 1 C X ,

cos cos 1 cos 1 cos ,

22

выражению для мгновенной мощности можно придать вид

Практический интерес представляет среднее по времени значение P(t), которое мы просто обозначим P. Так как среднее значение cos (2t – ) равно нулю,

Если ток в цепи не совершает механической работы, средняя мощность выделяется в активном сопротивлении в виде тепла.

Подставив значение cos (3.181) в (3.182) с учетом (3.172), получим

Такую же мощность развивает постоянный ток, сила которого

Величина IÝÔ называется действующим (эффективным) значением силы тока. Аналогично, величина

называется действующим (эффективным) значением напряжения. Действующим èëè эффективным значением переменного тока

называется такое значение постоянного тока, при котором на активном

168

сопротивлении выделяется за период такое же количество теплоты, как и при переменном токе. Аналогично и для действующего (эффективного) значения напряжения.

Например, стандартное напряжение в сети 220 В — это эффективное напряжение. По формуле (3.185) легко посчитать, что амплитудное зна- чение напряжения в этом случае будет равно 311 В.

С использованием действующих значений формуле (3.182) для средней мощности можно придать вид

В выражение для мощности входит множитель cos (3.181), который называют коэффициентом мощности. В технике стремятся сделать cos как можно больше. При малом cos для выделения в цепи необходимой мощности нужно пропускать ток большей силы. При этом возрастают потери в подводящих проводах, и приходится увеличивать их сечение.

На практике устанавливается предельно допустимое значение cos для предприятия, при достижении которого возможно отключение его от внешней сети (например, при cos ~ 0,85). Для повышения cos необходимо, как видно из векторной диаграммы (см. рис. 3.42), уравнять амплитудные значения напряжения на емкости и индуктивности электри- ческой цепи. Это может потребовать значительных капитальных вложений на переоборудование станочного парка на предприятии, изменение технологии. Быстро повысить cos можно, увеличивая (см. (3.181)) активное сопротивление, подключая нагревательные элементы и осветительное оборудование. Вот почему иногда можно наблюдать картину включения освещения на территории предприятий в дневное время в условиях достаточной видимости.

Электромагнитные волны

Мы знаем, что переменные электрическое и магнитное поля взаимно порождают друг друга: переменное магнитное поле порождает электри- ческое (см. уравнение (3.142)), переменное электрическое поле порождает магнитное (см. уравнение (3.143)). Таким образом, если возбудить с помощью колеблющихся зарядов переменное электромагнитное поле, то в окружающем заряды пространстве возникает последовательность взаимных превращений электрического и магнитного полей, распространяющихся от точки к точке. Этот процесс периодический во времени и в пространстве и, следовательно, представляет собой волну.

169

ностей электрического E и магнитного H полей так называемые волновые уравнения (связанные друг с другом), которые в одномерном случае

Всякая функция, удовлетворяющая волновому уравнению, представляет собой волну, причем корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при производной по времени, дает фазовую скорость этой волны:

ãäå c 1 0 0 3 108 м/с — скорость электромагнитных волн в ва-

кууме. Поэтому Максвелл еще задолго до экспериментального подтверждения существования электромагнитных волн высказал гипотезу, что свет — электромагнитные волны. Впервые экспериментально доказал существование электромагнитных волн Г. Герц в 1888 г., спустя 9 лет после смерти Максвелла.

Простейшими решениями уравнений (3.187) являются функции (уравнения плоской волны):

где циклическая частота волны = 2 , волновое число k v 2 ,

— длина волны. Шкала электромагнитных волн, где представлено (упрощенно) условное разбиение по длинам волн на диапазоны радиоволн,

световых волн, рентгеновского è гамма-излучения, имеет следующий вид:

170