barkov_sbornik_zadach_2011

d 2 = r12 + r22 − 2r1r2cos(π− α) = r12 + r22 + 2r1r2cosα,

cosα = d 2 − r12 − r22 .

2r1r2

В данном случае во избежание громоздких записей удобно значение cos α вычислить отдельно:

Подставляя выражение Е1, из формулы (1) и E2 из формулы (2) в равенство (3) и вынося общий множитель 1/(4πε0) за знак корня, получим

Подставим числовые значения величин в формулу (4) и произведем вычисления:

= 3,58 кВ/м.

При вычислении Е знак заряда q2 опущен, так как знак заряда определяет направление вектора напряженности, а направление Е2

было учтено при его графическом изображении (рисунок).

В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей потенциал φ результирующего поля, создаваемого двумя зарядами q1 и q2, равен алгебраической сумме потенциалов, т.е.

Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом q на расстоянии г от него, выражается формулой

81

В нашем случае согласно формулам (5) и (6) получим

Подставляя в это выражение числовые значения физических величин, получим

№ 4. Точечный заряд q = 25 нКл находится в поле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом R = 1 см, равномерно заряженным с поверхностной плотностью σ = 0,2 нКл/см2. Определить силу F, действующую на заряд, если его расстояние от оси цилиндра r = 10 см.

Р е ш е н и е.

Численное значение силы F, действующей на точечный заряд q, находящийся в поле, определяется по формуле

где Е – напряженность поля, создаваемого заряженным цилиндром. Как известно, напряженность поля бесконечно длинного рав-

номерно заряженного цилиндра

где τ – линейная плотность заряда.

Выразим линейную плотность τ через поверхностную плотность σ. Для этого выделим элемент цилиндра длиной l и выразим находящийся на нем заряд q двумя способами:

q = σS = σ·2·π·Rl; q = τl.

82

Приравнявправыечасти этихравенствисократив наl, получим

τ= 2π·Rσ.

С учетом этого формула (2) примет вид

E = Rσ.

ε0 r

Подставив это выражение в (1), получим искомую силу F:

Выпишем в единицах СИ числовые значения величин: q = = 25 нКл = 2,5· 10–8 Кл, σ = 0,2 нКл/см2 = 2· 10–6 Кл/м2, ε0 = = 8,85· 10–12 Ф/м. Так как R и r входят в формулу в виде отношения, они могут быть выражены в любых, но только одинаковых единицах. Подставим в (3) числовые значения величин:

F = 2,5 10−8 2 10−6 1 H = 5,65 10−4 H = 565 мкН. 8,85 10−12 10

G

НаправлениеG силы F совпадает с направлением напряженности E, а последняя направлена перпендикулярно поверхности цилиндра.

№ 5. Две концентрические проводящие сферы радиусами R1 = 6 см и R2 = 10 см несут соответственно заряды q1 = 1 нКл и q2 = –0,5 нКл. Найти напряженность Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r1 = 5 см, r2 = 9 см, r3 = 15 см.

Р е ш е н и е.

Заметим, что точки, в которых требуется найти напряженности электрического поля, лежат в трех областях (рисунок): область I

(r1 < R1), область II (R1 < r2 < R2), область III (r3 > R2).

1. Для определения напряженности Е1 в области I проведем замкнутую сферическую поверхность S1 радиусом r1 и воспользуемся теоремой Гаусса:

v∫ En dS = 0

S1

83

(так как суммарный заряд, находящийся внутри данной замкнутой поверхности, равен нулю). Следовательно, Е1 (напряженность поля в области I) во всех точках, удовлетворяющих условию r1 < R1, будет равна нулю.

2. В области II замкнутую поверхность проведем радиусом r2. В этом случае

(так как внутри этой замкнутой поверхности находится только

заряд q1).

Так как Еn = Е = const, Е можно вынести за знак интеграла:

или

ES2 = q1 .

ε0

Обозначив напряженность Е для области II через Е2, получим

где S2 – площадь замкнутой сферической поверхности, S2 = 4π·r22. Тогда

3. В области III сферическая поверхность проводится радиусом r3. Обозначим напряженность Е области III через Е3 и учтем,

84

что в этом случае замкнутая поверхность охватывает обе сферы и, следовательно, суммарный заряд будет равен q1 + q2. Тогда

E3 = q1 + q2 .

4πε0 r32

Выразим все величины в единицах СИ (q1 = 10–9 Кл, q2 =

= –0,5· 10 –9 Кл, r1 = 0,05 м, r2 = 0,09 м, r3 = 0,15 м, 1/(4πε0) = 9· 109 м/Ф)

и произведем вычисления:

№ 6. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности, равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ = 10 нКл/м. Определить напряженность Е и потенциал φ электрического поля, создаваемого таким распределенным зарядом в точке, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина l нити составляет одну треть длины окружности и равна 16 см.

Р е ш е н и е.

Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с центром кривизны дуги, а ось Y была бы симметрично расположена относительно концов дуги.

На нити выделим элемент длины dl. Заряд dq = τdl, находящийся на выделенном участке, можно считать точечным.

Определим напряженность электрическогоG поля в точке 0.

Для этого найдем сначала напряженность dE поля, создаваемого зарядом dq:

где r – радиус-вектор, направленный от элемента dl к точке, напряженность в которой вычисляется.

85

Подставим найденное значение dEу в выражение (1) и, приняв во внимание симметричное расположение дуги относительно оси Y, пределы интегрирования возьмем от 0 до π/3, а результат удвоим:

Подставив указанные пределы и выразив R через длину дуги (3l = 2πR), получим

Из этой формулы видно, что вектор E совпадает с положительным направлением оси Y.

Подставим значения τ и l в полученную формулу и произведем вычисления:

Найдем потенциал электрического поля в точке 0. Сначала найдем потенциал dφ, создаваемый точечным зарядом dq в точке 0:

Заменим r на R и произведем интегрирование:

Так как l = 2πR/3, то φ = τ/6ε0. Произведем вычисления:

87

№ 7. На пластинах плоского конденсатора находится заряд q = 10 нКл. Площадь S каждой пластины конденсатора равна 100 см2, диэлектрик – воздух. Определить силу F, с которой притягиваются пластины.

Р е ш е н и е.

Заряд q второй пластины находится в поле напряженностью Е1, созданном зарядом первой пластины конденсатора. Следовательно, на заряд q действует сила

где σ – поверхностная плотность заряда пластины, то формула (1) с учетом выражения (2) примет вид

Подставив числовые значения величин в формулу (3), получим

88

№ 8. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом R = 1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью τ = 20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстоянии а1 = 0,5 см и а2 = 2 см от поверхности цилиндра в средней его части.

Р е ш е н и е.

Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряженностью поля и изменением потенциала:

G

E = −gradφ.

Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде

Er = − dφ , или dφ = –Erdr. dr

Интегрируя это выражение, найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих на расстояниях r1 и r2 от оси цилиндра:

Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, для напряженности можно воспользоваться формулой напряженности поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром:

89

Выразим τ и 1/2πε0 в единицах СИ: τ = 20 нКл/м = 2· 10–8 Кл/м,

ε0 = 8,85·10–12 Ф/м.

Так как величины r1 и r2 входят в формулу (2) в виде отношения, их можно выразить в любых, но только одинаковых единицах: r1 = R + а1 = 1,5 см; r2= R + а2 = 3 см. Подставим числовые значения в (2) и вычислим:

№ 9. Конденсатор емкостью С1 = 3 мкФ был заряжен до разности потенциалов U1 = 40 В. После отключения от источника тока конденсатор был соединен параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью С2 = 5мкФ. Какая энергия W′ израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

Р е ш е н и е.

Энергия, израсходованная на образование искры,

где W1 – энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора; W2 – энергия, которую имеет батарея, составленная из первого и второго конденсаторов. Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле

где С – емкость конденсатора или батареи конденсаторов; U – разность потенциалов.

Выразив в формуле (1) энергии W1 и W2 по формуле (2) и принимая во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равнасуммеемкостейотдельныхконденсаторов, получим

где U2 – разность потенциалов на зажимах батареи параллельно соединенных конденсаторов.

90