barkov_sbornik_zadach_2011

щая на него, равна 1,5 · 10–3 Н. Напишите уравнение движения этого тела, если период колебания равен 2 с и начальная фаза π /3.

6.Диск радиусом 24 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через край диска перпендикулярно к плоскости диска. Определите период Т колебаний такого физического маятника.

7.Точка участвует в двух одинаково направленных колебаниях:

представлена на рисунке (фигура Лиссажу). Каково отношение частот ωY/ωX?

9.Логарифмический декремент затухания математического маятника ра-

вен 0,2. Найдите, во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний за одно полное колебание маятника.

10.0т источника колебаний распространяются волны вдоль прямой линии. Амплитуда колебаний 5 см. Каково смещение точки, удаленной от источника на 3/4 длины волны в момент, когда от начала колебаний источника прошло время, равное 0,5 периода колебаний?

11.Волны распространяются в упругой среде со скоростью 300 м/с. Наименьшее расстояние между точками среды, фазы которых противоположны, равно 1,5 м. Определите частоту колебаний.

Модуль 3. Колебания и волны

Вариант 14

1. Уравнение колебаний имеет вид x = 3sin 2π(t +16), см.

Чему равны период, амплитуда, фаза и начальная фаза этих колебаний?

231

2. Зависимость координаты колеблющегося тела от времени представлена графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колебанийввиде x = Acos(ωt + φ0 ) .

3. Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График временной зависимости проекции его скорости vx представлен на рисунке. Нарисуйте график, правильно отражающий зависимость координаты х от времени.

4. Уравнение движения точки дано в виде x = sin πt6, см.

Найдите моменты времени, в которые достигается максимальная скорость и максимальное ускорение.

5. Уравнение гармонического колебания тела массой 2 кг имеет вид x = sin πt6, см. Определите скорость и кинетическую энергию в момент времени t = 3 с.

6.На сколько уменьшится число колебаний математического маятника с периодом колебаний 1 с за сутки, если длина его возрастет на 5 см?

7.Материальная точка участвует одновременно в двух колебаниях, происходящих по одной прямой и выражаемых уравнения-

ми: х1 = sin π t, м, и х2 = 2sin(π t+π/2), м. Определите амплитуду результирующего колебания, его частоту

иначальную фазу.

8.Точка одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях с циклическими

частотами ωX и ωY: x = A1 cos(ωX t + φ1 ) и y = A2 cos(ωY t + φ2 ) . Траектория точки пред-

ставлена на рисунке (фигура Лиссажу). Каково отношение частот ωY/ωX?

232

9.Математический маятник отклонился при первом колебании

водну сторону на 5 см, при втором колебании на 4 см в ту же сторону. Определите: а) декремент; б) логарифмический декремент затухания.

10.Задано уравнение плоской волны ξ = A · cos(ω t – kλ ), где А = 0,5 см, ω = 628 рад/с, k = 2 1/м. Определите: 1) частоту колебаний и длину волны; 2) максимальное значение скорости колебаний частиц среды.

11. Определите разность фаз ∆ϕ колебаний источника волн, находящегося в упругой среде, и точки этой среды, отстоящей на 0,3 м от источника. Частота колебаний равна 100 Гц; волны распространяются со скоростью 330 м/с.

Модуль 3. Колебания и волны

Вариант 15

1.Определитеамплитуду, период, циклическую частоту и начальнуюфазуколебаний, заданныхуравнением x = 5cos 2π(t +18), см .

2.Зависимость коор-

динаты колеблющегося тела от времени представлена графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колебаний

ввиде x = Acos(ωt + φ0 ) .

3.Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График временной зависимости проекции

его скорости vx представлен на рисунке. Нарисуйте график, правильно отражающий зависимость координаты х от времени.

4. Уравнение гармонического колебания тела имеет вид x = 5sin π(t + 0,5), см. Определите скорость в момент времени 6 с

и максимальное ускорение.

233

5. Материальная точка массой 10 г совершает колебания согласно уравнению x = 5sin π(t + 0, 4), см. Найдите силу, действую-

щую в момент времени t = 0,1 с, а также полную энергию точки.

6. Как относятся частоты колебаний математических маятников, если длины относятся как 1:9?

7. Два одинаково направленных колебания складываются в одно. Напишите уравнение результирующего колебания, если складываемые колебания заданы уравнениями: x1 = 3sinω t, x2 = 4cosω t.

8. Точка совершает одновременно два гармонических колебания, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и выражаемых уравнениями: х = 4cosπ t и у = 3sinπ t (длина в см, время в секундах). Определите уравнение траектории точки, постройте ее

ссоблюдением масштаба и укажите направление движения.

9.Амплитуда 3-го колебания больше амплитуды 11-го колебания в 32 раза. Во сколько раз амплитуда затухающих колебаний уменьшится за одно полное колебание?

10.Поперечная волна распространяется вдоль оси Х. Уравне-

ние незатухающих колебаний источника дано в виде у = 10sin 0,5π t, см. Найдите смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 75 см от источника колебаний через 2 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний 3 м/с.

11. Найдите разность фаз колебаний двух точек, находящихся на расстояниях соответственно 4 и 10 м от источника колебаний. Частота колебаний25 Гц, скоростьраспространения колебаний300 м/с.

Модуль 3. Колебания и волны

Вариант 16

1. Уравнение колебаний имеет вид x = 4, 2sin(πt 2 + π 8),

см. Чему равны период, амплитуда, фаза и начальная фаза этих колебаний?

2. Зависимость координаты колеблющегося тела от времени представлена графиком

234

на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колебаний

ввиде x = Acos(ωt + φ0 ) .

3.Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График временной зависимости проекции его скоро-

сти vx представлен на рисунке. Нарисуйте график, правильно отражающий зависимость координаты х от времени.

4.Точка совершает гармонические

колебания. Максимальная скорость точки равна 10 см/с, максимальное ускорение 100 см/с2. Найдите циклическую частоту колебаний, их период и амплитуду. Напишите уравнение.

5.Тело массой 5 г совершает колебания с частотой 2 Гц. Амплитуда колебаний 3 мм. Определите: 1) максимальную силу, действующую на точку; 2) полную энергию колеблющейся точки.

6.Диск радиусом 75 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей на расстоянии 50 см от оси диска перпендикулярно

кплоскости диска. Определите частоту ν колебаний такого физического маятника.

7.Два одинаково направленных гармонических колебания одинаковой частоты с амплитудами 28 и 45 мм складываются в одно колебание с амплитудой 53 мм. Какова разность фаз складываемых колебаний?

8.Материальная точка одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты, заданных

уравнениями: х = 4sin(ω 0t + π /2), см, и у = 3sin(ω 0t), см. Найдите уравнение траектории, постройте ее с соблюдением масштаба

иукажите направление движения.

9.Чему равен логарифмический декремент затухания математического маятника, если за 1 мин амплитуда колебаний уменьшилась в 2 раза? Длина маятника 9,81 м.

10.Найдите смещение от положения равновесия точки, от-

стоящей от источника колебаний на расстоянии L = λ /6 (λ – длина волны) для момента времени Т/3 (Т – период колебаний). Амплитуда колебаний А = 0,05 м.

11. Определите скорость распространения волн в упругой среде, если разность фаз колебаний двух точек среды, отстоящих друг от друга на 10 см, равна π /6, а частота колебаний 500 Гц.

235

Модуль 3. Колебания и волны

Вариант 17

1. Определите амплитуду, период, циклическую частоту и начальнуюфазуколебаний, заданныхуравнением x = 3sin 2π(t +14), см .

2. Зависимость координаты колеблющегося тела от времени представлена графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колеба-

нийввиде x = Asin(ωt + φ0 ) . 3. Линейный гармони-

ческий осциллятор совершает колебания. График временной зависимости проекции его ускорения аx представлен на рисунке. Нарисуйте график, правильно отражающий зависимость координаты х от времени.

4.Напишите уравнение гармонического колебательного движения, если максимальное ускорение точки 49,3 см/с2, частота колебаний 0,4 Гц и смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени 25 мм.

5.Материальная точка массой 10 г совершает колебания со-

гласно уравнению x = 3sin 2π(t +14), см . Найдите силу, действующую в момент времени t = 0,25 c, а также полную энергию точки.

6.Обруч диаметром 113 см висит на гвозде, вбитом в стену,

исовершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. Найдите период этих колебаний.

7.Два одинаково направленных колебания складываются в одно. Напишите уравнение результирующего колебания, если склады-

ваемые колебания заданы уравнениями: x1 = 12sin ω t, x2 = 5cos ω t.

8. Материальная точка одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты, заданных уравнениями: х = 2sin ω t, см, и у = 3sin(ω t + π ), см. Найдите уравне-

236

ние траектории, постройте ее с соблюдением масштаба и укажите направление движения.

9. Задано уравнение колебаний x = 5e−0,01t sin(2πt + π) , см. 2

Найдите коэффициент затухания и время релаксации.

10.Волны с периодом 0,6 с и амплитудой 5 см распространяются со скоростью 20 м/с. Чему равно смещение точки, находящейся на расстоянии 40 м от источника волн в тот момент, когда от начала колебаний прошло 2 с?

11.Две точки находятся на прямой, вдоль которой распространяются волны со скоростью 400 м/с. Частота колебаний 100 Гц, расстояние между точками 40 см. Найдите разность фаз колебаний этих точек.

Модуль 3. Колебания и волны

Вариант 18

1.Определите амплитуду, период, циклическую частоту и начальнуюфазу колебаний, заданных уравнением x = 6sin π(t +14), см.

2.Зависимость координа-

ты колеблющегося тела от времени представлена графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колебанийввиде x = Asin(ωt + φ0 ) .

3.Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График временной зависимости проекции

его ускорения аx представлен на рисунке. Нарисуйте график, правильно отражающий зависимость координаты х от времени.

4.Амплитуда гармонического колебания 5 см, период 4 с

иначальная фаза π /4. Напишите уравнение этого колебания. Найди-

237

те смещение, скорость и ускорение колеблющейся точки в момент времени t = 1,5 с.

5. Материальная точка массой 10 г совершает колебания согласно уравнению x = 6sin π(t +14), см. Найдите силу, действующую в момент времени 1,25 с, а также полную энергию точки.

6.Из однородного диска радиусом 2R/3 сделали физический маятник. Вначале ось проходит через образующую диска, потом на расстоянии R/3 от центра диска. Определите отношение периодов колебаний диска.

7.Два одинаково направленных гармонических колебания одинаковой частоты с амплитудами 12 и 5 мм складываются в одно колебание с амплитудой 13 мм. Какова разность фаз складываемых колебаний?

8.Материальная точка участвует в двух взаимно перпенди-

кулярных колебаниях, заданных уравнениями х = cos(π t + π ), см, и y = 2cos π t, см. Найдите уравнение траектории и начертите ее

ссоблюдением масштаба.

9.Амплитуда 3-го колебания больше амплитуды 7-го колебания в 4 раза. Чему равен логарифмический декремент затухания?

10.Источник, расположенный в точке x = 0, колеблется по закону y = 0,02sin100πt, м. Напишите уравнение плоской бегущей незатухающей волны, распространяющейся вдоль направления x со скоростью 300 м/с.

11.Найдите разность фаз колебаний двух точек, отстоящих на расстоянии 3 м друг от друга, если длина волны равна 2 м.

Модуль 3. Колебания и волны

Вариант 19

1. Определите амплитуду, период, циклическую частоту и начальную фазу колебаний, заданных уравнением x =10cos π(t + 58), см.

2. Зависимость координаты колеблющегося тела от времени представлена гра-

238

фиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колебаний в виде

x= Asin(ωt + φ0 ) .

3.Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График временной зависимости проекции его ускоре-

ния аx представлен на рисунке. Нарисуйте график, правильно отражающий зависимость координаты х от времени.

4.Амплитуда гармонического колебания 10 мм, период 2 с,

начальная фаза π /2. Напишите уравнение этого колебания. Найдите смещение, скорость и ускорение колеблющейся точки в момент времени t = 1,5 с.

5. Полная энергия колеблющегося тела равна 6 · 10–5 Дж, максимальная сила, действующая на него, равна 3 · 10–3 Н. Напишите уравнение движения тела, если период колебания равен 1 с и начальная фаза π /6.

6.Диск радиусом 48 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через образующую диска перпендикулярно к плоскости диска. Определите частоту колебаний такого физического маятника.

7.Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами Т = 1,5 с и амплитудами А1 = 2 см,

А2 = 3 см. Начальные фазы колебаний ϕ 1 = π /2 и ϕ 2 = π /3. Определите амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Напишите его уравнение.

8. Точка одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях с циклическими частотами ωX = 2π, рад/с, и ωY. Траектория точки представлена на рисунке. Определите амплитуды, начальные фазы, частоты и напишите законы изменения

координат: x = A1 sin(ωX t + φ1 ) и y = A2 sin(ωY t + φ2 ) .

9. За 8 мин амплитуда затухающих колебаний маятника уменьшается в 3 раза. Во сколько раз амплитуда уменьшится за 4 мин, чему равен коэффициент затухания?

239

10.Поперечная волна распространяется вдоль оси Х. Уравнение колебаний источника дано в виде у = 10sin 300π t, см. Найдите смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 100 см от источника колебаний через 0,01 с после начала колебаний. Скорость волн 300 м/с.

11.Определите разность фаз колебаний источника волн, находящегося в упругой среде, и точки этой среды, отстоящей на 2 м от источника. Частота колебаний равна 500 Гц; волны распространяются со скоростью 400 м/с.

Модуль 3. Колебания и волны

Вариант 20

1. Уравнение гармонических колебаний имеет вид х = = 5sin π(t + 0,1), см. Чему равны период и циклическая частота

этих колебаний?

2. Зависимость координаты колеблющегося тела от времени представлена графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колебаний в виде

x = Asin(ωt + φ0 ) .

3. Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График временной зависимости проекции его ускорения аx представлен на рисунке. Нарисуйте график, правильно отражающий зависимость координаты х от времени.

4. Материальная точка совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид x = 20sin πt6, мм . Каково значение скорости точки в момент времени 2 с?

240