barkov_sbornik_zadach_2011

ции такой системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку О, лежащую на оси стержня (рисунок). Принять m = 0,1 кг.

2.На барабан радиусом 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой 10 кг. Определите момент инерции барабана, если известно, что груз опускается с ускорением а = 2 м/с2.

3.Два однородных тонких стерж-

ня: АВ длиной l1 = 40 см и массой m1 = = 900 г и CD длиной l2 = 40 см и массой m2 = 400 г скреплены под прямым углом (рисунок). Определите момент импульса системы стержней, вращающейся с частотой ν относительно оси ОО′,

проходящей через конец стержня АВ параллельно стержню CD.

4.Горизонтальная платформа массой 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая 10 об/с. Человек массой 70 кг стоит в центре платформы. Сколько оборотов в секунду будет делать платформа, если расстояние человека от центра станет равным R/4? Платформа – однородный диск радиусом R, м, человек – точечная масса.

5.Шар массой 2 кг катится без скольжения по горизонтальной поверхности, делая 5 об/с. Найдите полную кинетическую энергию шара.

6.Горизонтальная платформа массой 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая 10 об/с. Человек массой 70 кг стоит на расстоянии 3 м от центра платформы. Когда человек переместился на расстояние 1 м от центра платформы, частота вращения стала равной 22 об/с. Платформа – однородный диск, человек – точечная масса. Найдите работу, совершаемую человеком.

7.Средняя высота спутника над поверхностью Земли 1700 км. Определите его скорость и период вращения.

8.В U-образную трубку налита ртуть. Сверху в одно колено заливают 68 г воды. Площадь сечения трубки 1 см2, плотность ртути 13,6 · 103 кг/м3. Определите, на сколько уровень жидкости в одном колене выше, чем в другом.

211

9.При взвешивании в воздухе тело объема 1000 см3 было уравновешено медными гирями массы 890 г. Какой массы гири необходимо добавить при взвешивании этого тела в вакууме? Плотность меди 8,9 · 103 кг/м3, воздуха – 1,2 кг/м3.

10.Деревянный брусок массой 2 кг тянут равномерно по деревянной доске, расположенной горизонтально, с помощью пружины с жесткостью 100 Н/м. Коэффициент трения равен 0,3. Найдите удлинение пружины.

Модуль 2. Динамика вращательного движения

Вариант 25

1. Вычислите момент инерции тонкого однородного стержня длиной l = 1 м и массой m = 0,5 кг с насаженным на него грузом массой 2m относительно оси ОО′ (ри-

сунок). Груз принять за материальную точку.

2.На барабан массой m1 = 9 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m2 = 2 кг. Определите ускорение груза. Барабан считать однородным цилиндром. Трением пренебречь.

3.Два шара массами m и 2m (m = 10 г)

закреплены на тонком невесомом стержне длиной l = 40 см так, как показано на рисунке. Определите момент импульса системы, вращающейся с частотой ν относитель-

но оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец. Размерами шаров пренебречь.

4.Горизонтальная платформа массой 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая 5 об/с. Человек массой 60 кг стоит на расстоянии R от центра платформы. Сколько оборотов в секунду будет делать платформа, если расстояние человека от центра станет равным R/3 м? Платформа – однородный диск радиусом R, м, человек – точечная масса.

5.Кинетическая энергия вала, вращающегося с частотой 20 об/с равна 20 Дж. Найдите момент импульса вала относительно оси вращения.

212

6.Кинетическая энергия вращающегося маховика равна 1 кДж. Под действием постоянного тормозящего момента маховик начал вращаться равнозамедленно и, сделав 80 оборотов, остановился. Определите момент М силы торможения.

7.Вычислите первую космическую скорость у поверхности Луны, если ее радиус 1760 км, а ускорение свободного падения

уповерхности Луны в 6 раз меньше ускорения свободного падения

уповерхности Земли.

8.На какой глубине в озере давление в 3 раза больше атмосферного давления р0 = 100 кПа?

9.Железобетонная плита размерами 4× 0,3× 0,25 м погружена в воду на половину своего объема. Какова архимедова сила, действующая на плиту?

10.На горизонтальной поверхности лежит брусок массой 1 кг. К бруску прикреплена пружина жесткостью 50 Н/м. К свободному концу пружины приложили горизонтальную силу, растягивающую пружину. Какую работу совершит сила к моменту, когда брусок начнет скользить? Коэффициент трения между бруском и поверхностью 0,4.

Модуль 3. Колебания и волны

Вариант 1

1. Уравнение гармонических колебаний имеет вид x = = 4, 2 sin(πt 2 + π 8), см . Чему равны период, амплитуда и начальная

фазаэтихколебаний?

2. Зависимость координаты колеблющегося тела от времени представлена графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колебаний в виде

x = Asin(ωt + φ0 ) .

213

3.Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График временной зависимости его координаты х представлен на рисунке. Нарисуйте график, правильно отражающий зависимость проекции скорости vx от времени.

4.Уравнение движения точки дано

ввиде x = sin(πt6), см. Найдите момен-

ты времени, в которые достигается максимальная скорость и максимальное ускорение.

5.К пружине подвешен груз. Зная, что максимальная кинетическая энергия колебаний груза равна 1 Дж, найдите коэффициент упругости пружины. Амплитуда колебаний 5 см.

6.Из однородного диска радиусом R сделали физический маятник. Вначале ось проходит через образующую диска, потом – на расстоянии R/2 от центра диска. Определите отношение периодов колебаний дисков.

7.Постройте векторную диаграмму сложения амплитуд и напишите уравнение результирующего гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, за-

данных уравнениями: х1 = 4sinπ t, см, и x2 = 3sin(π t + π /2).

8. Материальная точка одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты, заданных уравнениями: х = 2sin(ω 0t+ π /2), см, и у = 2sinω 0t, см. Найдите уравнение траектории, постройте ее с соблюдением масштаба и укажите направление движения.

9.Амплитуда колебаний маятника длиной 1 м за 10 мин уменьшилась в 2 раза. Определите логарифмический декремент затухания.

10.Поперечная волна распространяется вдоль оси Х. Уравнение

незатухающих колебаний источника дано в виде у = 10sin0,5π t, см. Напишите уравнение колебаний для точек волны в момент t = 4 c после начала колебаний.

11. Две точки находятся на прямой, вдоль которой распространяются волны со скоростью 40 м/с. Частота колебаний 20 Гц, расстояние между точками 40 см. Найдите разность фаз колебаний этих точек.

214

Модуль 3. Колебания и волны

Вариант 2

1. Определите амплитуду, период, циклическую частоту и начальную фазу колебаний, заданных уравнением

x= 5cos 2π(t +18), см .

2.Зависимость координаты колеблющегося тела от времени представлена графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колебаний в виде

x= Asin(ωt + φ0 ) .

3.Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График временной зависимости его координаты х представлен на рисунке. Нари-

суйте график, правильно отражающий зависимость проекции скорости vx от времени.

4.Напишите уравнение гармонического колебательного движения, если максимальное ускорение точки 49,3 см/с2, период колебаний 2 с и смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени 25 мм.

5.Материальная точка массой 20 г колеблется по уравнению

x= 5sin(πt 5 + π 4), см. Найдите период колебаний, максимальную

силу, действующую на точку, и ее полную энергию.

6.Обруч диаметром 56,5 см висит на гвозде, вбитом в стену,

исовершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. Найдите период этих колебаний.

7.Точка участвует в двух одинаково направленных колебаниях:

х1 = А1 · sinω t и х2 = А2 · соsω t, где А1 = 1 см, А2 = 2 см, ω = 1 рад/с. Оп-

ределитеамплитуду результирующихколебанийиихчастоту.

8. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях: х = 2sinω t и у = 2cosω t. Найдите уравнение траектории, постройте ее с соблюдением масштаба и укажите направление движения.

215

9.Амплитуда затухающих колебаний маятника за 2 мин уменьшиласьвдвое. Восколькоразонауменьшитсяза5 мин?

10.Поперечная волна распространяется вдоль оси Х. Уравне-

ние незатухающих колебаний источника дано в виде у = 10sin0,5π t, см. Напишите уравнение колебаний для точки, отстоящей на расстоянии 600 м от источника колебаний, если скорость волны 300 м/с.

11. Определите скорость распространения волн в упругой среде, если разность фаз колебаний двух точек среды, отстоящих друг от друга на 10 см, равна π /3, а частота колебаний 25 Гц.

Модуль 3. Колебания и волны

Вариант 3

1. Уравнение гармонических колебаний тела имеет вид x = 0,1sin π(t 8 +1 4), м. Чему

равны амплитуда, частота и начальная фаза колебаний?

2. Зависимость координаты колеблющегося тела от времени представлена графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колебаний в виде x = Asin(ωt + φ0 ) .

3. Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График временной зависимости его координаты х представлен на рисунке. По-

стройте график, правильно отражающий зависимость проекции скорости vx от времени.

4.Амплитуда гармонических колебаний 5 см, период 4 с. Найдите максимальную скорость колеблющейся точки и максимальное ускорение.

5.Амплитуда гармонических колебаний материальной точки

А= 0,3 см, полная энергия колебаний W = 3 · 10–7 Дж. При каком смещении от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила F = 10–5 Н?

216

6.Как относятся частоты колебаний математических маятников, если длины относятся как 1:4?

7.Найдите амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных коле-

баний, заданных уравнениями: х1 = 3sinπ t, см, и x2 = 4sin(π t + π /2), см. Напишите уравнение результирующего колебания и постройте векторную диаграмму сложения амплитуд.

8. Точка совершает одновременно два гармонических колебания, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях ивыражаемых уравнениями: х = sin π t/2 и у = cos π t (длина– в см, время– в секундах). Определите уравнение траектории точки, постройте

еессоблюдением масштаба иукажитенаправлениедвижения.

9.За 8 мин амплитуда затухающих колебаний маятника уменьшилась в3 раза. Определите коэффициент затухания.

10.Поперечная волна распространяется вдоль оси Х. Уравнение

незатухающих колебаний источника дано в виде у = 10sin 0,5π t, см. Напишите уравнение волны, если скорость распространения колебаний300 м/с.

11. Волны распространяются в упругой среде со скоростью 75 м/с. Наименьшее расстояние между точками среда, фазы колебаний которых противоположны, равно 2 м. Определите период колебаний.

Модуль 3. Колебания и волны

Вариант 4

1.Определите амплитуду, период, циклическую частоту и начальнуюфазуколебаний, заданныхуравнением x = 3sin 2π(t +14), cм .

2.Зависимость коор-

динаты колеблющегося тела от времени представлена графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колебаний в виде

x = Asin(ωt + φ0 ) .

217

3.Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График временной зависимости его координаты х представлен на рисунке. Нарисуйте график, правильно отражающий зависимость проекции скорости vx от времени.

4.Уравнение гармонических коле-

баний тела имеет вид x = 0, 2cos5πt, м. Каковы амплитудные значе-

ния скорости и ускорения этого тела?

5. Материальная точка массой 10 г совершает колебания согласно уравнению x = 0, 2sin 8πt,м . Найдите силу, действующую

вмомент времени t = 0,1 с, а также полную энергию точки.

6.Однородный стержень совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Длина стержня l = 0,5 м. Определите период колебаний стержня и его приведенную длину.

7.Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами Т = 1,5 с и амплитудами А = 2 см.

Начальные фазы колебаний ϕ 1 = π /2 и ϕ 2 = π /3. Определите амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Напишите его уравнение.

8. Материальная точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, заданных уравнениями: х = cos(π t + π ), см, и у = 2cos π t, см. Найдите уравнение траектории и начертите ее

ссоблюдением масштаба.

9.Математический маятник отклонился при первом колебании в одну сторону на 10 см, при втором колебании – на 8 см в ту же сторону. Определите декремент и логарифмический декремент затухания.

10.Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью 15 м/с. Период колебаний точек шнура Т = 1,2 с. Определите длину волны.

11.Волны распространяются в упругой среде со скоростью 100 м/с. Наименьшее расстояние между точками среды, фазы которых противоположны, равно 1 м. Определите частоту колебаний.

218

Модуль 3. Колебания и волны

Вариант 5

1. Уравнение гармонических колебаний тела имеет вид x = 0, 01sin π(t 8 + 1 2), м. Чему равны амплитуда, частота и началь-

ная фаза колебаний?

2. Зависимость координаты колеблющегося тела от времени представлена графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колебаний в виде x = Acos(ωt + φ0 ) .

3.Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График временной зависимости проекции его скоро-

сти vx представлен на рисунке. Нарисуйте график, правильно отражающий зависимость проекции ускорения ax от времени.

4.Материальная точка со-

вершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид x = 20 cos πt6, мм. Каково значениескорости точкивмоментвремени

t = 3 с?

5. Материальная точка массой 0,1 кг колеблется согласно уравнению x = 5sin 20πt, м. Определите максимальную силу, действую-

щую на точку, и максимальную кинетическую энергию.

6.Один математический маятник совершает в час 2000, а другой 3000 качаний. Как относятся длины этих маятников?

7.Два одинаково направленных гармонических колебания одного периода с амплитудами А1 = 10 см и А2 = 6 см складываются

водно колебание с амплитудой 14 см. Найдите разность фаз этих колебаний.

219

8.Точка одновременно участвует

вдвух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях с циклическими

частотами ωX и ωY: x = A1 cos(ωX t + φ1 ) и y = A2 cos(ωY t + φ2 ) . Траектория точки

представлена на рисунке (фигура Лиссажу). Каково отношение частот ωY/ωX?

9.Амплитуда затухающих колебаний маятника за 2 мин уменьшилась

втри раза. Во сколько раз она уменьшится за 4 мин?

10.Найдите смещение от положе-

ния равновесия точки, отстоящей от источника колебаний на расстоянии L = λ /6 (λ – длина волны), для момента времени Т/3 с (Т – период колебаний). Амплитуда колебаний равна 0,3 м.

11. Определите разность фаз колебаний источника волн, находящегося в упругой среде, и точки этой среды, отстоящей на 3 м от источника. Частота колебаний 10 Гц. Скорость распространения волн 50 м/с.

Модуль 3. Колебания и волны

Вариант 6

1.Определите амплитуду, период, циклическую частоту и начальнуюфазуколебаний, заданныхуравнением x = 3sin 2π(t +14), см .

2.Зависимость коор-

динаты колеблющегося тела от времени представлена графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колебаний в виде

x = Acos(ωt + φ0 ) .

220