barkov_sbornik_zadach_2011

дикулярна плоскости колебаний (I–I) плоскополяризованного света, падающего на него. Введение кварцевой пластины приводит к повороту плоскости колебания света на угол

где l – толщина пластины.

Зная, во сколько раз уменьшится интенсивность света при прохождении

его через поляроид, определим угол β, который установится между плоскостью пропускания поляроида и новым направлением (II–II) плоскости колебаний падающего на поляроид плоскополяризованного света. Для этого воспользуемся законом Малюса: I = I0cos2β.

значения и произведем вычисления (во внесистемных единицах): l = 48,91 arcsin 1/ 2 = 48,945 мм = 0,92 мм.

Варианты заданий приведены на стр. 377–409.

4.3. КВАНТОВАЯ ОПТИКА

Квантовой оптикой называют раздел физики, в котором изучаются оптические явления на основе представления о свете как потоке частиц. Согласно теории М. Планка, в дальнейшем развитой А. Эйнштейном, излучение и поглощение света веществом происходит конечными порциями, называемыми квантами (фотонами).

131

Подобно частице, фотон обладает релятивистской массой и энергией. Особенностью фотона является то, что он неделим, движется со скоростью света и его масса покоя равна нулю. Квантовая теория позволила решить задачу теплового излучения, объяснить явление фотоэффекта, эффект Комптона и давление света.

Задачи, связанные с определением массы, импульса или энергии фотона, решаются на основании соответствующих формул. При этом нельзя забывать, что фотон – релятивистская частица и формулы классической физики к нему неприменимы. Если в задаче наряду с фотонами рассматриваются другие частицы (например, фотон сталкивается с электроном, протоном и т.п., или требуется сравнить массу, импульс или энергию фотона с соответствующей характеристикой частицы) и специально не оговорено, релятивистские они или нет, то нужно вычислить энергию Е и энергию покоя Е0 частицы. Если Е < Е0, то частицу можно считать нереляти-

вистской и использовать законы классической физики; если Е > Е0, то необходимо применять формулы специальной теории относительности.

Задачи на фотоэффект решаются на основании формулы Эйнштейна и вытекающих из нее соотношений:

–красная граница фотоэффекта – это минимальная частота ν0 или максимальная длина волны λ0, при которых возможен фотоэффект; соответствующая энергия кванта равна работе выхода электрона из поверхности данного металла;

–задерживающее напряжение U3 (задерживающая разность потенциалов) – это минимальная разность потенциалов между анодом и катодом, при которой электрическое поле между электродами достаточно сильное, чтобы не дать фотоэлектронам долететь до

анода; U3 по величине равно максимальной кинетической энергии фотоэлектронов;

–ток насыщения Iн – это максимальный ток в цепи при условии, что катод освещается одним и тем же источником света; Iн по величине равен суммарному заряду всех электронов, испускаемых катодом в единицу времени.

Задачи на давление света решаются на основании формулы

р= Есэ (1 + ρ) . При этом следует помнить, что она справедлива

132

только для случая, если свет падает перпендикулярно поверхности тела. Часто эту формулу удобно использовать в другой форме запи-

си. Поскольку освещенность Еэ равна энергии, падающей в единицу времени на единицу плошади тела, то ее можно представить в виде

p = (1 + ρ) nhν , c

где n – число фотонов с частотой ν, падаюших в единицу времени на единицу площади поверхности тела.

Если свет падает на поверхность под некоторым углом α, следует обратить внимание на то, что площадь S поперечного сечения светового пучка и площадь S0 на поверхности тела, на которое падает этот пучок, не равны друг другу, а связаны соотноше-

нием S = S0 · cosα.

Основные формулы

Законы теплового излучения

1. Закон Стефана – Больцмана. Энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна абсолютной температуре в четвертой степени:

Rэ = σT 4,

где σ – постоянная Стефана – Больцмана.

Энергетической светимостью называется величина, численно равная энергии излучения всех длин волн с единицы поверхности

тела в единицу времени: Rэ = ∞∫ rλdλ , где rλ – спектральная плотность

0

энергетической светимости (т.е. энергетическая светимость, приходящаяся на единичный интервал длин волн).

2. Закон смещения Вина. В спектре излучения абсолютно черного тела длина волны λ0, на которую приходится максимум энергии излучения, обратно пропорциональна абсолютной температуре:

133

λm = b ,

T

где b – постоянная Вина.

Фотоэлектрический эффект

3. Формула Эйнштейна для фотоэффекта:

hν = A + Wmax,

где hν – энергия фотона, падающего на поверхность металла; А – работа выхода электрона; W – максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона, вылетевшего из металла.

Если энергия фотона меньше 5 кэВ, то кинетическая энергия W

может быть определена по классической формуле Wmax = me v2 , где

2

me – масса покоя электрона.

Если энергия фотона больше 5 кэВ, то для вычисления кинетической энергии W следует воспользоваться релятивистской фор-

4. Максимальная длина волны λ0 (минимальная частота колебаний ν0), начиная с которой фотоэффект прекращается, называется

Давление света. Фотоны

5. Давление р, производимое светом при нормальном падении на поверхность с коэффициентом отражения ρ, выражается соотно-

шением р = Есэ (1 + ρ) , или р = ω(1+ ρ), где Еэ – энергетическая ос-

вещенность поверхности; с – скорость распространения света в вакууме; ω – объемная плотность энергии излучения.

134

В случае идеально отражающей (зеркальной) поверхности коэффициент отражения ρ = 1. В случае идеально поглощающей поверхности (поверхность абсолютно черного тела) коэффициент отражения ρ = 0.

на p = ε = h . c λ

Эффект Комптона

7. При соударении со свободным или слабо связанным (валентным) электроном фотон передает ему часть своей энергии, вследствие этого длина волны λ′ рассеянного фотона больше длины волны λ первичного фотона.

Изменение длины волны дается формулой Комптона

λ′− λ = h (1 − cosθ), mec

где m0 – масса покоящегося электрона; θ – угол рассеяния. Величи-

на Λ = h называется комптоновской длиной волны. При рассея- mec

нии на электроне Λ = 0,02436 Å = 2,436 · 10 –12 м.

Примеры решения задач

№1. Длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения абсолютно черного тела, λ0 = 0,58 мкм. Определить энергетическую светимость(излучательность) R0 поверхности тела.

Р е ш е н и е.

Энергетическая светимость R0 абсолютно черного тела в соответствии с законом Стефана – Больцмана пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры и выражается формулой

135

Выпишем числовыезначениявеличин, входящихвэту формулу:

σ = 5,67 10–8 Вт/(м2 · К4), b = 2,90 · 10–3 м· К, λm = 5,8 10–7 м и, подста-

вив числовые значения в формулу (3), произведем вычисления:

=3,54 107 Вт/ м2 = 35,4 МВт/ м2 .

№2. Определить максимальную скорость vmax фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра: 1) ультрафиолетовыми лучами с длиной волны λ1 = 0,155 мкм; 2) γ-лучами с длиной вол-

ны λ2 = 1 пм.

Р е ш е н и е.

Максимальную скорость фотоэлектронов можно определить из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта

где ε – энергия фотона, падающего на поверхность металла; А – работа выхода электрона из металла; Тmax – максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.

Энергия фотона вычисляется также по формуле

136

где h – постоянная Планка; с – скорость света в вакууме; λ – длина волны.

Кинетическая анергия электрона может быть выражена или по классической формуле

в зависимости от того, какая скорость сообщается фотоэлектрону. Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызы-

вающего фотоэффект: если энергия ε фотона много меньше энергии покоя Е0 электрона, то может быть применена формула (3), если же ε сравнима по величине с Е0, то вычисление по формуле (3) приводит

кошибке, поэтому нужно пользоваться формулой (4).

1.Вычислим энергию фотона ультрафиолетовых лучей по формуле (2):

Полученная энергия фотона (8 эВ) много меньше энергии покоя электрона (0,51 МэВ). Следовательно, для данного случая кинетическая энергия фотоэлектрона в формуле (1) может быть выраже-

2

на по классической формуле (3): ε1 = А + mevmax , откуда

2

Выпишем числовые значения величин: ε1 = 1,28 10–18 Дж (вы-

числено выше), А = 4,7 эВ = 4,7 · 1,6 10–19 Дж, m0 = 9,11 10–31 кг.

137

Подставив числовые значения в формулу (5), найдем

Работа выхода электрона (А = 4,7 эВ) пренебрежимо мала по сравнению с энергией фотона (ε2 = 1,24 МэВ), поэтому можно принять, что максимальная кинетическая энергия электрона рав-

на энергии фотона: Wmax = ε2 = 1,24 МэВ. Так как в данном случае кинетическая энергия электрона больше его энергии покоя, для

вычисления скорости электрона следует взять релятивистскую формулу кинетической энергии (4). Из этой формулы найдем

№3. В результате эффекта Комптона фотон при соударении

сэлектроном был рассеян на угол θ = 90°. Энергия рассеянного фо-

тона ε2 = 0,4 МэВ. Определить энергию фотона ε1 до рассеяния. Р е ш е н и е.

Для определения энергии первичного фотона воспользуемся формулой Комптона

138

где ∆λ – изменение длины волны фотона в результате рассеяния на свободном электроне, ∆λ = λ2 – λ1; h – постоянная Планка; mе – масса покоя электрона; с – скорость света в вакууме; θ – угол рассеяния фотона.

Формулу (1) преобразуем следующим образом: 1) заменим в ней ∆λ на λ2 – λ1; 2) выразим длины волн λ1 и λ2 через энергии ε1 и ε2 соответствующих фотонов, воспользовавшись формулой ε = hc/λ; 3) умножим числитель и знаменатель правой части фор-

Сократим на hс и выразим из полученной формулы искомую энергию:

где Е0 – энергия покоя электрона, Е0 = mec2.

Вычисления по формуле (2) удобно вести во внесистемных единицах. Взяв из таблицы значение энергии покоя электрона в мегаэлектрон-вольтах и подставив числовые данные, получим

ε1 = 0,4 0,51 ° =1,85 МэВ.

0,51− 2 0,4sin2 90

2

№4. Пучок параллельных лучей монохроматического света

сдлиной волны λ = 663 нм падает нормально на плоскую зеркальную поверхность. Поток излучения Ф = 0,6 Вт. Определить: 1) силу F

давления, испытываемую этой поверхностью; 2) число N1 фотонов, ежесекундно падающих на поверхность.

Р е ш е н и е.

1. Сила светового давления на поверхность равна произведению светового давления р на площадь S поверхности:

139

где Еe – энергетическая освещенность (облученность); c – скорость света в вакууме; ρ – коэффициент отражения. Подставляя выражение (2) давления света в формулу (1), получим

Энергетическая освещенность Ее есть величина, численно равная энергии, падающей на единичную площадку в единицу времени. Произведение Ее на S есть величина, численно равная энергии, падающей на данную площадку S в единицу времени, т.е. поток

Величины, входящие в формулу (4), выпишем в единицах СИ: Ф = 0,6 Вт, с = 3·108 м/с, ρ = 1 (поверхность зеркальная). После подстановки этих величин в формулу (4) получим

F= 3 108 (1+1) = 4 10-9 H .

2.Произведение энергии ε одного фотона на число фотонов

N1, падающих на поверхность в единицу времени, равно мощности излучения, т.е. потоку излучения: Ф = εN1, а так как энергия0,6

фотона ε = hc/λ, то Ф = hcλ N1 , откуда

Выпишем величины, входящие в формулу (5), в единицах СИ:

Ф = 0,6 Вт, λ = 6,63 10–7 м, h = 6,63 10–34 Дж·с, с = 3 108 м/с. Под-

ставим полученные значения в расчетную формулу и произведем вычисления:

140