barkov_sbornik_zadach_2011

нением величины на этом промежутке можно было пренебречь (рисунок). Таким образом, приближенно на участке dМ можно L считать постоянной (L = const).

Тогда

dK = L(M) · dM,

где dK – изменение величины K на участке dM.

Используя принцип суперпозиции (суммируя величины по всем участкам изменения величины М), получаем значение величи-

M 2

ны K в виде K = ∫ L (M )dM , где М1 и М2 – начальное и конечное

M1

значения величины М. Таким образом, метод ДИ состоит из двух частей. В первой находят дифференциал искомой величины. Для этого в большинстве случаев производят или деление тел на столь малые части, чтобы последние можно было принять за материальные точки, или деление большого промежутка времени на такие малые промежутки времени dt, чтобы в течение этих малых промежутков процесс можно было п р и б л и ж е н н о считать равномерным (или стационарным), и т. д.

Во второй части метода производят суммирование (ин-

тегрирование). Наиболее трудными в этой части являются выбор переменной интегрирования и определение пределов интегрирова-

ния. Для определения переменной интегрирования необходимо детально проанализировать, от каких переменных зависит дифференциал искомой величины и какая переменная является главной, наиболее существенной. Эту переменную чаще всего и выбирают в качестве переменной при интегрировании. После этого все остальные переменные выражают как функции от этой переменной. В результате дифференциал искомой величины принимает вид функции от переменной интегрирования. Затем определяют пределы интегрирования как крайние (предельные) значения переменной интегрирования. После вычисления определенного интеграла получают числовое значение искомой величины.

Третью группу составляют задачи на определение емкости, потенциала или заряда какого-либо тела, расчет соединений конденсаторов и энергии электрического поля.

71

Если по условию задачи дано одно заряженное тело, то величины, характеризующие электрические свойства тела, связаны между собой известными формулами:

С учетом зависимости потенциала от величины заряда эти формулы позволят найти одни из величин, если другие заданы.

Следует иметь в виду, что если плоский конденсатор подключить к источнику питания, зарядить его и затем отключить, то при изменении емкости конденсатора С вследствие раздвижения (сближения) пластин, внесения (удаления) диэлектрика заряд на конденсаторе не меняется. Что при этом происходит с напряжением U или энергией конденсатора Е легко установить, анализируя вышеприведенные формулы. Если же конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения, то при всех изменениях емкости конденсатора напряжение между его пластинами остается неизменным.

Основные формулы

1. Закон Кулона:

поля в вакууме; Е – напряженность электростатического поля внут-

72

где Wп – потенциальная энергия положительного точечного заряда q, находящегося в данной точке поля.

Сила, действующая на точечный заряд q, находящийся в электрическом поле, и потенциальная энергия этого заряда

G

F = q E; Wп = qϕ .

3. Напряженность и потенциал поля, создаваемого точечным зарядом q:

где r – расстояние от заряда q до точки, в которой определяются напряженность или потенциал.

4. Напряженность и потенциал поля, создаваемого системой точечных зарядов (принцип суперпозиции полей):

G

где Ei , ϕ i – напряженность и потенциал в данной точке поля, созда-

ваемого i-м зарядом.

5. Напряженность и потенциал поля, создаваемого сферой радиусом R на расстоянии r от центра сферы:

где q – заряд сферы.

6. Линейная плотность заряда τ = dqdl или τ = q/l. Поверхностная плотность заряда σ = dqdS или σ = q/S. Объемная плотность заряда ρ = dqdV или ρ = q/V. Связь заряда и плотностей dq = σ dS = τ d l= ρ dV.

73

7. Напряженность и потенциал поля, создаваемого распределенными зарядами. Если заряд равномерно распределен вдоль линии с линейной плотностью τ , то на линии выделяется малый участок длиной dl с зарядом dq = τ dl. Такой заряд можно рассматривать как точечный и применять формулы:

где rG – радиус-вектор, направленный от выделенного элемента dl к точке, в которой вычисляется напряженность; r – его модуль.

Используя принцип суперпозиции электрических полей, нахо-

дим интегрированием напряженность E и потенциал ϕ поля, создаваемого распределенным зарядом:

Интегрирование ведется вдоль всей длины l заряженной линии. 8. Напряженность поля, создаваемого бесконечно прямой рав-

номерно заряженной линией или бесконечно длинным цилиндром,

E = 2ππετ 0r ,

где r – расстояние от нити или оси цилиндра до точки, в которой определяется напряженность поля.

Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью,

E = σ . 2εε0

Электрическое смещение (электрическая индукция)

G

D = ε0ε E .

74

10. Связь потенциала с напряженностью:

б) E = φ1 − φ2 в случае однородного поля; d

в) E = − dφ в случае поля, обладающего центральной или dr

осевой симметрией.

11. Электрический момент диполя

G

P = q l ,

где q – заряд; l – плечо диполя (векторная величина, направленная от отрицательного заряда к положительному и численно равная расстоянию между зарядами).

12.Работа сил поля по перемещению заряда q из точки поля

спотенциалом ϕ 1, в точку с потенциалом ϕ 2

2

A12 = q∫ El dl = q (φ1 − φ2 ) .

1

13. Электроемкость уединенного тела и конденсатора

где ϕ – потенциал проводника; U – разность потенциалов пластин конденсатора.

Следует помнить, что при изменении электрической емкости конденсатора, подключенного к источнику напряжения, меняется величина заряда на его пластинах, а разность потенциалов остается постоянной и равной ЭДС источника тока. При изменении емкости конденсатора, отключенного от источника напряжения, меняется разность потенциалов на его пластинах, а величина заряда остается при этом неизменной.

75

Электроемкость плоского конденсатора

C = εε0 S , d

где S – площадь одной пластины конденсатора; d – расстояние между пластинами.

Электроемкость батареи конденсаторов:

i =1

где N – число конденсаторов в батарее. Энергия заряженного конденсатора:

где V – объем конденсатора.

Объемная плотность энергии электрического поля

w0 = W = ε0ε E 2 . V 2

Примеры решения задач

№1. Три точечных заряда q1 = q2 = q3 = 1 нКл расположены

ввершинах равностороннего треугольника. Какой заряд q4 нужно поместить в центре треугольника, чтобы указанная система зарядов находилась в равновесии?

Р е ш е н и е.

Все три заряда, расположенные по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы какойнибудь один из трех зарядов, например q1, находился в равновесии.

76

Заряд q1 будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю:

G

где F2 , F3 , F4 – силы, с которыми соответственно Gдействуют на заряд q1 заряды q2, q3, q4; F – равнодействующая сил F2 и F3 .

G

Так как силы F и F4 направлены по одной прямой в проти-

воположные стороны, то векторное равенство (1) можно заменить скалярным равенством F – F4 = 0, откуда

F4 = F.

Выразив в последнем равенстве F через F2 и F3 и учитывая,

что F3 = F2, получим F4 = F = 2F2 cos α . 2

Применяя закон Кулона и имея в виду, что q2 = q3 = q1, найдем

77

Из геометрических построений в равностороннем треугольнике (α = 60°) следует, что

С учетом этого формула (2) примет вид

q4 = q1 . 3

Подставив числовое значение q1 = 1 нКл = 10–9 Кл, получим

Следует отметить, что равновесие системы зарядов будет неустойчивым.

№ 2. Тонкий стержень длиной l = 20 см несет равномерно распределенный заряд. На продолжении оси стержня на расстоянии а = 10 см от ближайшего конца находится точечный заряд q1 = 40 нКл, который взаимодействует со стержнем с силой F = 6 мкН. Определить линейную плотность τ заряда на стержне.

Р е ш е н и е.

При вычислении силы F следует иметь в виду, что заряд на стержне не является точечным, поэтому закон Кулона непосредственно применить нельзя. Применим метод ДИ. Выделим на стержне малый участок dr

с зарядом dq = τdr. Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда, согласно закону Кулона,

78

ε0 = 8,85· 10–12 Ф/м.

Подставим числовые значения величин в полученную формулу и произведем вычисления:

№3. Два точечных электрических заряда q1 = 1 нКл и q2 =

=–2 нКл находятся в воздухе на расстоянии d = 10 см друг от друга.

Определить напряженность Е и потенциал φ поля, создаваемого этими зарядами в точке А, удаленной от заряда q1 на расстоянии r1 = 9 см и от заряда q2 на r1 = 7 см.

Р е ш е н и е.

Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд создает поле независимо от присутствияG в пространст-

ве других зарядов. Поэтому напряженность Е электрического поля в искомой точке может быть найдена как геометрическая сумма

79