barkov_sbornik_zadach_2011

4. При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной аGn и тангенциальной аGτ составляющих:

а = аGn + aGτ .

Абсолютное значение этих ускорений:

Скорость точки при равнопеременном движении вдоль оси Х

v = v0 + at.

7. Положение твердого тела (при заданной оси вращения) определяется углом поворота (или угловым перемещением) φ. Кине-

матическое уравнение вращательного движения:

G

φ = f (t).

Угловая скорость

G G = dφ

ω . dt

Угловое ускорение

εG = dω. dt

11

Угловое перемещение, угловая скорость и угловое ускорение являются псевдовекторами, их направления совпадают с осью вращения и определяются по правилу правого винта.

8.Кинематическое уравнение равномерного вращения (ω =

=const, ε = 0):

φ = φ0 +ωt,

где φ0 – начальное угловое перемещение; t – время.

9. Т – период вращения (время одного полного оборота):

T = t ;

N

ν – частота вращения (число оборотов в единицу времени):

где N – число оборотов, совершаемых телом за время t,

ω= 2Тπ = 2πν.

10.Кинематическое уравнение равнопеременного вращения

(ε = const):

φ = φ0 + ω0 t + ε t 2 ,

2

где ω0 – начальная угловая скорость; φ = 2πN.

Угловая скорость тела при равнопеременном вращении

ω= ω0 + εt.

11.Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими вращение материальной точки:

12

Примеры решения задач

№ 1. Два велосипедиста едут навстречу друг другу. Один, имея скорость 18 км/ч, движется равнозамедленно с ускорением 0,2 м/с2; другой, имея скорость 5,4 км/ч, движется равноускоренно с тем же ускорением. Через какое время велосипедисты встретятся и какой путь проедет каждый из них до встречи, если расстояние между ними в начальный момент времени 130 м?

Р е ш е н и е.

Начало системы координат (т. 0) помещаем в точку, где в начальный момент времени находился первый велосипедист,

а ось Х совпадает с направлением его движения (рисунок). На чертеже изображаем векторы скоростей и ускорений обоих велосипедистов. Очевидно, что х01 = 0, х02 = S. Уравнения движения велосипедистов с учетом выбранного положительного направления оси Х будут:

S2 = S – S1 = 130 – 60 = 70 м.

№2. Из орудия вылетает снаряд со скоростью v0 под углом α

кгоризонту. Определить: а) скорость (модуль и направление) и положение (координаты) снаряда в любой момент времени; б) время подъема до наивысшей точки и время полета; в) высоту подъема и дальность полета. Сопротивлением воздуха пренебречь.

13

Р е ш е н и е.

Делаем чертеж (рисунок). Начало координат удобнее выбрать на месте выстрела, оси x и y направить в стороны полета снаряда.

ния. Разложим на проекции. Если xо = 0 и yо = 0 – проекция перемещения равна координате:

По принципу независимости движений движение тела, брошенного под углом к горизонту, мы представили как состоящее из двух более простых: равномерного движения в горизонтальном направлении и равноускоренного (с ускорением g) – в вертикальном.

Модуль скорости можно найти из уравнения v = vx2 + vy2 ,

а направление (угол с горизонтом β) из соотношения tgβ = vy . При- vx

чем в точке, показанной на рисунке, угол β < 0, так как проекция скорости vy < 0; этоговорит отом, чтоснарядужеуменьшает высоту.

14

В наивысшей точке траектории скорость vGв направлена горизонтально, её проекция vвy = 0; подставив 0 в уравнение (2) получа-

ем время подъема tпод = v0 sin α . Положив в уравнении (4) у = 0, g

получаем два корня: первый t = 0 соответствует началу полета, вто-

рой времени полета tпол = 2 v0 sin α . Заметьте, tпол = 2 · tпод, значит, g

время подъема равно времени спуска.

Максимальную высоту подъема найдем из (4) подставив tпод:

= v2 sin 2α

L o . Из формулы видно, что наибольшая дальность полета g

при угле α = 45°.

Если в полученных выше формулах подставить α = 0°, получим формулы для вертикального движения. Если выразить время t из (3) и подставить в (4), увидим что траектория – парабола.

№ 3. Зависимость угла поворота тела от времени дается уравнением ϕ = А + Вt +Ct2 + Dt3, где А = 1 рад, В = 0,1 рад/с, D = 0,01 рад/с2. Найти: а) угловой путь, пройденный за 3 с от начала отсчета времени; б) среднюю угловую скорость; в) среднее угловое ускорение за 3 с от начала движения.

Р е ш е н и е.

Угловой путь, пройденный за 3 с, ϕ = ϕ 2 – ϕ 1, где ϕ 2 – угловой путь, пройденный за 3 с (t2 = 3c); ϕ 1 – угловой путь к моменту времени t1 = 0 c.

а) из зависимости углового пути от времени ϕ (t) (см. условие задачи) найдем ϕ 1 и ϕ 2:

ϕ1 = А = 1 рад;

ϕ2 = А + Вt22 + Dt23 = 1 + 0,1 3 + 0,02 32 + 0,01 33 = 1,75 рад;

ϕ= ϕ 2 – ϕ 1 = 1,75 – 1 = 0,75 рад.

15

б) средняя угловая скорость за 3 с от начала вращения выражается формулой

в) среднее угловое ускорение за 3 с от начала вращения

< ε >= ω2 − ω1 , t2 − t1

где ω 2 – угловая скорость в момент времени t2 = 3 c; ω 1 – угловая скорость в момент времени t1 = 0 с.

Мгновенную угловую скорость найдем по определению

ω= dφ = B + 2Ct + 3Dt2.

dt

Подставим числовые данные:

t2 = 3 с, ω 2 = 0,1 + 2 0,2 3 + 3 0,01 32 = 0,49 рад/с; t1 = 0 c, ω 1 = B = 0,1 рад/с.

Среднее угловое ускорение

<ε > = 0, 49 − 0,1 = 0,13 рад/с2. 3 − 0

№ 4. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону

ϕ = 10 + 20t – 2 t2.

Найти полное ускорение точки (величину и направление), находящейся на расстоянии 0,1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 с.

Р е ш е н и е.

Каждая точка вращающегося тела описывает окружность. Полное ускорение точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального aGτ , на-

16

правленного по касательной к траектории, и нормального aGn , направленного к центру кривизны траектории:

Тангенциальное и нормальное ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами:

где ω – угловая скорость тела; ε – его угловое ускорение; R – расстояние точки от оси вращения.

Подставляя формулы (2) и (3) в (1), находим

Угловая скорость вращающегося тела равна первой производной от угла поворота по времени:

ω = dφ = 20 − 4t. dt

В момент времени t = 4 с угловая скорость

ω = (20 – 4 4) с–1 = 4 рад/с.

Угловое ускорение вращающегося тела равно первой производной от угловой скорости по времени:

ε = dω = −4 рад/с2 . dt

Это выражение не содержит аргумента времени t, следовательно, угловое ускорение имеет постоянное значение, не зависящее от времени.

Подставив значения ω и ε в формулу (4), получим

ε = 0,1 (−4)2 + 44 = 1,65 м/с2.

17

1.2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Динамика – раздел механики, в котором изучается движение тел с причинно-следственной точки зрения, т.е. под действием других тел. Из опыта известно, что все тела взаимодействую между собой. Меру взаимодействия тел, в результате которого тела деформируются или приобретают ускорение, называют силой.

Основная задача динамики материальной точки состоит в том, чтобы найти законы движения точки, зная приложенные к ней силы, или, наоборот, по известным законам движения определить силы, действующие на эту точку. Для овладения методом решения этих задач необходимо усвоить следующее: понятие силы как вектора, имеющее абсолютное значение (модуль), направление и точку приложения; формулировки и физическую сущность трех законов Ньютона; типы сил, рассматриваемых в механике (трения, упругости, тяготения). Рекомендуется придерживаться следующей последовательности действий:

1.Выбрать систему отсчета (см. главу «Кинематика»).

2.Найти все силы, действующие на тело, и изобразить их на чертеже. Определить (или предположить) направление ускорения

иизобразить его на чертеже.

Следует помнить, что, говоря о движении какого-либо тела, например поезда, самолета, автомобиля и т.д., мы подразумеваем под этим движение материальной точки. Расставляя силы, приложенные к телу, необходимо все время руководствоваться третьим законом Ньютона, помня, что силы могут действовать на это тело только со стороны других тел: со стороны Земли это будет сила тя-

жести, равная mgG ; cо стороны нити – сила натяжения T ;Gсо стороны поверхности – силы нормальной реакции N и трения Fтр .

3.Записать для данного тела (тел) уравнение второго закона Ньютона в векторной форме и перейти к скалярной записи, заменив все векторы их проекциями на оси координат.

4.Исходя из физической природы сил, выразить силы через величины, от которых они зависят. Скажем, силу трения нужно представить через коэффициент трения и силу нормального давления, если известно, что тело скользит по поверхности.

18

5.Если в задаче требуется определить положение или скорость точки, то к полученным уравнениям динамики добавить кинематические уравнения.

6.Решить полученную систему уравнений относительно искомых величин.

Основные формулы

1. Импульс материальной точки, движущейся поступательно со скоростью v:

p= mvG.

2.Второй закон Ньютона

dpG = Fdt ,

N G G

∑ Fi = ma ,

i =1

G

где F – сила, действующая на тело.

3. Силы, рассматриваемые в механике: а) сила упругости

Fх = – kx,

где k – коэффициент упругости (в случае пружины – жесткость); х –

г) сила тяжести

F = mg,

где g – ускорение свободного падения;

19

д) сила трения скольжения

Fтр = µN,

где µ– коэффициент трения; N – сила нормальной реакции опоры. 4. Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы

не изменяется с течением времени:

Для двух тел (i = 2)

m1vG1 + m 2 vG2 = m1uG1 + m2uG2 ,

а) упруго деформированной пружины

WП = 1 kx2 ,

2

где k – жесткость пружины; х – абсолютная деформация; б) гравитационного взаимодействия

WП = −G m1m2 , r

где G – гравитационная постоянная; m1 и m2 – массы взаимодействующих тел; r – расстояние между ними (тела – материальные точки или сферы);

в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

WП = mgh,

20