barkov_sbornik_zadach_2011

ты максимумов и минимумов интерференционной картины на экране можно найти следующим образом:

–ввести систему координат и выбрать произвольную точку на

экране;

–провести в эту точку лучи от обоих источников;

–из геометрических соображений найти пути S1 и S2 волн, распространяющихся вдоль этих лучей, выразив их через координаты точки на экране и расстояние до экрана;

–найти оптические пути n1S1 и п2S2 волн;

–найти оптическую разность хода волн;

–если требуется определить координаты максимумов, то полученную оптическую разность хода следует приравнять к величине, равной целому числу длин волн (или четному числу длин полуволн); если требуется определить координаты минимумов, то разность хода лучей следует приравнять величине, равной нечетному числу длин полуволн;

–найти координаты максимумов и минимумов интерференционной картины, расстояние между интерференционными полосами и ширину интерференционных полос.

При интерференции в тонких пленках оптическая разность хода интерферирующих волн возникает за счет дополнительного расстояния, пройденного одной из них. В таких задачах следует учитывать, что одна из интерферирующих волн отражается от границы раздела сред. Если отражение происходит от среды с показателем преломления большим, чем среда, в которой распространяется свет, то фаза отраженной волны изменится на π радиан, что соответствует оптическому пути, равному ± λ/2. Если отражение света происходит от среды с меньшим показателем преломления, то фаза отраженной волны не меняется.

Задачи на дифракцию также делятся на две группы соответственно двум видам дифракции – дифракции Френеля и дифракции Фраунгофера.

Для решения задач на дифракцию Френеля (или дифракцию

врасходящихся лучах) необходимо освоить метод зон Френеля, позволяющий путем геометрических построений установить закономерности распределения интенсивности волны на круглом отверстии или круглом диске.

121

Большинство задач на дифракцию Фраунгофера (или дифракцию в параллельных лучах) связано с дифракционной решеткой – совокупностью большого числа щелей одинаковой ширины, разделенных одинаковыми по ширине непрозрачными промежутками. Из основной формулы дифракционной решетки d · sinφ = ± kλ можно сделать три вывода: 1) число главных максимумов ограничено, и наибольшее значение k определяется условием kmax = d/λ, так как значение синуса не может превышать единицы; 2) дифракционная картина является симметричной относительно первичного луча, проходящего через главный фокус линзы; 3) положения главных максимумов, за исключением только центрального максимума (k = 0), зависят от длины волны света. Из последнего вывода следует, что дифракционная решетка обладает способностью разлагать падающий на нее свет по длинам волн. Если, к примеру, на решетку падает белый свет, то все дифракционные максимумы, кроме нулевого, будут окрашены, т.е. разложатся в спектр, причем фиолетовый участок спектра будет располагаться ближе к центру дифракционной картины, а красный участок окажется дальше от ее центра.

Задачи на поляризацию в методическом плане не представляют особой трудности. Достаточно хорошо разобраться с природой поляризованного света и двумя законами – законом Малюса и законом Брюстера.

Основные формулы

Интерференция света

1. Скорость света в среде v = c , где с – скорость света в ва- n

кууме; n – показатель преломления среды.

2.Оптическая длина пути луча L = n · l, где l – геометрическая длина пути луча в среде с показателем преломления n.

3.Если один луч проходит путь длиной l1 в среде с показателем преломления n1, а другой луч – путь l2 в среде с показателем преломления n2, то оптическая разность хода этих лучей

∆= n1l1 – n2l2.

122

4. Разность фаз колебаний ∆φ связана с оптической разностью хода ∆ интерферирующих волн соотношением ∆ φ= 2π∆λ , где λ –

длина световой волны в вакууме.

5. Условие максимального усиления света в результате ин-

терференции ∆ = ± kλ, (k = 0, 1, 2, …).

Условие максимального ослабления света

∆ = ±(2k + 1)λ/2, (k = 0, 1, 2, …).

Дифракция света

6. Радиусы зон Френеля в случае плоского волнового фронта rk = kr0 λ , где rk – радиус зоны, k – номер зоны (k = 1, 2, …);

r0 – расстояние от круглого отверстия в непрозрачном экране до точки наблюдения, расположенной на оси отверстия; λ – длина световой волны.

7. При дифракции параллельного пучка лучей монохроматического света на одной узкой длинной щели:

а) направления, в которых амплитуда колебаний дифрагированных лучей минимальна, определяются из условия

a sinφ = ±2k λ = ±kλ; k =1, 2, 3, ..., где а – ширина щели; φ – угол

2

отклонения лучей от нормали к плоскости щели, определяющий направление на дифракционный минимум; k – порядковый номер минимума; λ – длина световой волны;

б) направления, по которым амплитуда колебаний дифрагированных лучей после их интерференции максимальна, определя-

ются по формуле a sinφ′ = ±(2k +1) λ; k = 1, 2, 3,... .

2

8. При дифракции на плоской дифракционной решетке направления, в которых наблюдаются максимумы света, определяются из условия

(a + b) sinφ = ± kλ; k = 0, 1, 2, …, где а – ширина прозрачной полоски (щели); b – ширина непрозрачного штриха; d – период решетки (или постоянная решетки), d = (а + b); φ – угол между нор-

123

малью к поверхности решетки и направлением дифрагированных лучей; k – порядковый номер дифракционного максимума.

9. Разрешающая сила дифракционной решетки R = ∆λλ, где

∆λ – наименьшая разность длин волн двух соседних спектральных линий (λ и λ + ∆λ), при которой эти линии могут быть видны раздельно в спектре, полученном посредством данной решетки.

Разрешающая сила R решетки тем больше, чем больше штрихов решетка содержит и чем больше порядковый номер дифракционного максимума: R = kN, где N – полное число штрихов решетки.

При дифракции рентгеновских лучей на кристаллической решетке направления, в которых имеет место зеркальное отражение (дифракционный максимум), определяются из уравнения Вульфа – Бреггов: 2d · sinθ = kλ, где d – расстояние между атомными плоскостями кристалла; θ – угол скольжения (угол между направлением пучка параллельных рентгеновских лучей, падающих на кристалл, и гранью кристалла).

Поляризация света

11.Закон Брюстера. Луч, отраженный от поверхности диэлек-

трика, максимально поляризован, если тангенс угла падения i1 луча на поверхность раздела двух сред равен относительному показате-

лю преломления n21 второй среды относительно первой: tgi1 = n21. Закон Брюстера неприменим в случае отражения от поверхности проводников.

12.Закон Малюса. Интенсивность I плоскополяризованного света, прошедшего через анализатор, прямо пропорциональна квадрату косинуса угла α между направлением колебаний света, падающего на анализатор, и направлением колебаний, которые анализа-

тор пропускает без ослабления: I = I0cos2α, где I0 – интенсивность света, падающего на анализатор.

124

13. Вращение плоскости поляризации. Угол поворота плоскости поляризации монохроматического света:

Примеры решения задач

№ 1. От двух когерентных источников S1 и S2 (λ = 0,8 мкм) лучи попадают на экран. На экране наблюдается интерференционная картина. Когда на пути одного из лучей перпендикулярно ему поместили мыльную пленку (n = 1,33), интерференционная картина изменилась на противоположную. При какой наименьшей толщине dmin пленки это возможно?

Р е ш е н и е.

Изменение интерференционной картины на противоположную означает, что на тех участках, где наблюдались интерференционные максимумы, стали наблюдаться интерференционные минимумы. Такой сдвиг интерференционной картины возможен при

изменении оптической разности хода лучей на нечетное число половиндлин волн, т.е.

где ∆1 – оптическая разность хода лучей до внесения пленки;

125

Выразим оптические разности хода ∆2 и ∆1. Из рисунка сле-

дует: ∆1 = l1 – l2, ∆2 = [(l1 – dmin) + ndmin] – l2 = (l1 – l2) + dmin(n – 1).

Подставим выражения ∆2 и ∆1 в формулу (2):

№ 2. На стеклянный клин с малым углом нормально к его грани падает параллельный пучок лучей монохроматического света с длиной волны λ = 0,6 мкм. Число m возникающих при этом интерференционных полос, приходящихся на 1 см, равно 10. Определить угол α клина.

Р е ш е н и е.

Лучи, падая нормально к грани клина, отражаются как от верхней, так и от нижней грани. Эти лучи когерентны. Поэтому на поверхности клина будут наблюдаться интерференционные полосы. Так как угол клина мал, то отраженные лучи 1 и 2 (рисунок) будут практически параллельны.

Темные полосы видны на тех участках клина, для которых разность хода лучей кратна нечетному числу половин длин волн:

126

Разность хода ∆ двух лучей складывается из разности оптических длин путей (2dncosi2) этих лучей и половины длины волны λ/2. Величина λ/2 представляет собой добавочную разность хода, возникшую при отражений луча 1 от оптически более плотной среды. Подставляя в формулу (1) значение разности хода ∆ лучей, получим

где n – показатель преломления стекла (n = 1,6); dk – толщина клина

втом месте, где наблюдается темная полоса, соответствующая номеру k; i – угол преломления второго луча.

Согласно условию, угол падения равен нулю, следовательно,

иугол преломления i2 равен нулю, а соs i2 = 1. Раскрыв скобки

вправой части равенства (2), после упрощения получим

Пусть произвольной темной полосе k-гo номера соответствует толщина dk клина, а темной полосе (k + m)-го номера – толщина dk+m клина. Тогда из рисунка, учитывая, что m полос укладывается на расстоянии l, найдем

Выразим из (3) dk и dk+m и подставим их в формулу (4). Затем, учитывая, что из-за малости угла α sinα ≈ α, получим

Подставляя числовые значения физических величин, найдем

α = 10 + 0,6 10−6 = 2 10-4 рад. 2 1,5 10−2

№ 3. На дифракционную решетку нормально к ее поверхности падает монохроматический свет. Период решетки d = 2 мкм. Какого наибольшего порядка дифракционный максимум дает эта решетка в случае красного (λ1 = 0,7 мкм) и в случае фиолетового

(λ2 = 0,41 мкм) света?

127

Р e ш е н и е.

На основании известной формулы дифракционной решетки напишем выражение порядка дифракционного максимума:

где d – период решетки; φ – угол между направлением на дифракционный максимум и нормалью к решетке; λ – длина волны монохроматического света. Так как sinφ не может быть больше 1, то, как следует из формулы (1), число m не может быть больше d/λ, т.е.

Подставив в формулу (2) числовые значения, получим: для красныхлучейm ≤2/0,7 = 2,86; дляфиолетовыхлучейm ≤2/0,41 = 4,88.

Если учесть, что порядок максимумов является целым числом, то для красного света mmax = 2 и для фиолетового mmax = 4.

№ 4. Естественный луч света падает на полированную поверхность стеклянной пластины, погруженной в жидкость. Отраженный от пластины луч образует угол ϕ = 97° с падающим лучом (рисунок). Определить показатель преломления n1 жидкости, если отраженный свет максимально поляризован.

Р е ш е н и е.

Согласно закону Брюстера луч света, отраженный от диэлектрика, максимально поляризован в том случае, если тангенс угла падения численно равен относитель-

относительно первой (жидкости). Относительный показатель преломления равен отношению

абсолютных показателей преломления. Следовательно, tg i1 = n2/n1.

128

№ 5. Два николя N1 и N2 расположены так, что угол между их плоскостями пропускания составляет α = 60°. Определить, во сколько раз уменьшится интенсивность I0 естественного света: 1) при прохождении через один николь N1; 2) при прохождении через оба николя. Коэффициент поглощения света в николе k = 0,05. Потери на отражение света не учитывать.

Р е ш е н и е.

1. Естественный свет, падая на грань призмы николя (рисунок), расщепляется вследствие двойного лучепреломления на два луча:

обыкновенный и необыкновенный. Оба луча одинаковы по интенсивности и полностью поляризованы. Плоскость колебаний необыкновенного луча лежит в плоскости чертежа (плоскость главного сечения). Плоскость колебаний обыкновенного луча перпендикулярна плоскости чертежа. Обыкновенный луч О вследствие полного внутреннего отражения от границы АВ отбрасывается на зачерненную поверхность призмы ипоглощается ею. Необыкновенный луч е проходит через призму, уменьшаясвоюинтенсивностьвследствиепоглощения: I1 = 1/2·I0(1 – k).

Относительное уменьшение интенсивности света получим, разделив интенсивность I0 естественного света, падающего на первый николь, на интенсивность I1 поляризованного света:

Таким образом, интенсивность уменьшается в 2,1 раза.

129

2. Плоскополяризованный луч света интенсивности I1 падает на второй николь N2 и также расщепляется на два луча различной интенсивности: обыкновенный и необыкновенный. Обыкновенный луч полностью поглощается призмой, поэтому интенсивность его нас не интересует. Интенсивность необыкновенного луча I2, вышедшего из призмы N2, определяется законом Малюса (без учета поглощения света во втором николе): I2 = I1cos2α, где α – угол между плоскостью колебаний в поляризованном луче и плоскостью пропускания николя N2.

Учитывая потери интенсивности на поглощение во втором николе, получим I2 = I1(1 – k)cos2α.

Искомое уменьшение интенсивности при прохождении света через оба николя найдем, разделив интенсивность I0 естественного света на интенсивность I2 света, прошедшего систему из двух ни-

Таким образом, после прохождения света через два николя интенсивность его уменьшится в 8,86 раза.

№ 6. Плоскополяризованный монохроматический луч света падает на поляроид и полностью им гасится. Когда на пути луча поместили кварцевую пластину, интенсивность I луча света после поляроида стала равна половине интенсивности луча, падающего на поляроид. Определить минимальную толщину кварцевой пластины. Поглощением и отражением света поляроидом пренебречь, постоянную вращения кварца α принять равной 48,9 град/мм.

Р е ш е н и е.

Полное гашение света поляроидом означает, что плоскость пропускания поляроида (пунктирная линия на рисунке) перпен-

130