barkov_sbornik_zadach_2011

5.Амплитуда гармонических колебаний материальной точки

А= 2 мм, полная энергия колебаний W = 2 · 10–7 Дж. При каком смещении от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила 10–4 Н?

6.Найдите приведенную длину физического маятника, период колебаний которого равен 0,5 с.

7.Два одинаково направленных гармонических колебания

одного периода с амплитудами А1 = 10 см и А2 = 6 см складываются в одно колебание с амплитудой 10 см. Найдите разность фаз этих колебаний.

8.Точка участвует одновременно в двух взаимно перпенди-

кулярных колебаниях: х = 2sin ω t и у = 2cos ω t. Найдите траекторию движения точки.

9. Задано уравнение колебаний x = 8e−0,1t sin(πt + π) , см. Чему

4

равна амплитуда и координата в момент времени 1 с.

10.Волны с частотой 1 Гц и амплитудой колебаний 2 см распространяются со скоростью 30 м/с. Чему равно смешение точки, находящейся на расстоянии 30 м от источника волн в тот момент, когда от начала колебаний источника прошло 4 с?

11.Найдите разность фаз колебаний двух точек, находящихся на расстояниях соответственно 20 и26 мотисточника колебаний. Период колебаний0,04 с, скоростьраспространения колебаний100 м/с.

Модуль 3. Колебания и волны

Вариант 21

1. Уравнение гармонических колебаний тела имеет вид х = = 0,1sin π(t 8 +1 4), см. Чему равны амплитуда, частота и начальная

фаза колебаний?

2. Зависимость координаты колеблющегося тела от времени представлена графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колебаний в виде x = Acos(ωt + φ0 ) .

241

3.Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График временной зависимости проекции его ускоре-

ния аx представлен на рисунке. Нарисуйте график, правильно отражающий зависимость проекции скорости vx от времени.

4.Материальная точка совершает гар-

монические колебания, уравнение которых имеет вид x = 20sin πt6, мм. Каковозначениеускоренияточкивмоментвремени2 с?

5.Материальная точка массой 20 г колеблется с периодом 0,05 с и амплитудой 0,2 см. Определите полную энергию колеблющейся точки.

6.Однородный стержень совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Длина стержня l = 1 м. Определите период колебаний стержня и его приведенную длину.

7.Напишите уравнение движения, получающегося от сложения двух одинаково направленных гармонических колебаний с одинаковыми периодами по 8 с и одинаковыми амплитудами по 2 см.

Начальная фаза одного колебания равна нулю, второго – + π /4. 8. Точка одновременно участ-

вует в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях с циклическими частотами ωX = 2π, рад/с, и ωY. Траектория точки представлена на рисунке. Определите амплитуды, начальные фазы, частоты и напишите законы изменения

координат: x = A1 sin(ωX t + φ1 ) и y = A2 sin(ωY t + φ2 ) .

9.Амплитуда 3-го колебания больше амплитуды 7-го колебания в 16 раз. Во сколько раз амплитуда затухающих колебаний уменьшится за одно полное колебание?

10.Найдите смещение от положения равновесия точки, от-

стоящей от источника колебаний на расстоянии L = 2λ /3 (λ – длина волны) для момента времени 2Т/3 с (Т – период колебаний). Амплитуда колебаний равна 0,02 м.

11. Две точки находятся на прямой, вдоль которой распространяются волны со скоростью 330 м/с. Частота колебаний 10 кГц,

242

расстояние между точками 40 см. Найдите разность фаз колебаний этих точек.

Модуль 3. Колебания и волны

Вариант 22

1. Уравнение гармонических колебаний имеет вид x = cos5πt, см. Определите: амплитуду, циклическую частоту,

период и начальную фазу этих колебаний.

2.Зависимость координаты колеблющегося тела от времени представлена графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колебаний в виде

x= Acos(ωt + φ0 ) .

3.Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График временной зависимости проекции

его ускорения аx представлен на рисунке. Нарисуйте график, правильно отражающий зависимость проекции скорости vx от времени.

4.Материальная точка совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид x = cos 6πt, см . Каково значение ско-

рости точки вмомент времени t = 1 с?

12

5. Материальная точка массой 0,1 кг колеблется согласно уравнению x = cos 6πt, см. Определите максимальную силу, действую-

щую на точку, и максимальную кинетическую энергию.

6. Диск радиусом 48 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей на расстоянии 36 см от оси диска перпендикулярно к плоскости диска. Определите частоту ν колебаний такого физического маятника.

243

7. Складываются два колебания одинакового направления и одинакового периода: x1 = sin π t, см, и x2 = sin π (t + 0,5), см. Определите амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Напишите его уравнение.

8. Точка одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях с циклическими

представлена на рисунке (фигура Лиссажу). Каково отношение частот ωY/ωX?

9.Логарифмический декремент затухания математического маятника равен 0,02. Найдите, во сколько раз уменьшится

амплитуда колебаний за одно полное колебание маятника.

10.От источника колебаний распространяются волны вдоль прямой линии. Амплитуда колебаний 10 см. Каково смещение точки, удаленной от источника на 1/4 длины волны в момент, когда от начала колебанийисточника прошловремя, равное1,9 периодаколебаний?

11.Определите скорость распространения волн в упругой среде, если разность фаз колебаний двух точек среды, отстоящих друг от

друга на 1 см, равна π /6, а частота колебаний 50 Гц.

Модуль 3. Колебания и волны

Вариант 23

динаты колеблющегося тела от времени представлена графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колебаний в ви-

де x = Acos(ωt + φ0 ) .

244

3.Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График времен-

ной зависимости проекции его ускорения аx представлен на рисунке. Нарисуйте график, правильно отражающий зависимость проекции скорости vx от времени.

4.Уравнение колебаний тела имеет

вид x = cos 6πt, см . Напишите уравнения проекций скорости и ускорения этого тела?

5.Материальная точка массой 10 г колеблется по уравнению

x= 5sin π(t +14), см. Напишите уравнение для силы, действующей

на точку, и ее потенциальной энергии.

6.Один математический маятник имеет период 3 с, а другой 4 с. Каков период колебаний математического маятника, длина которого равна сумме длин указанных маятников?

7.Материальная точка участвует одновременно в двух колебаниях, происходящих по одной прямой и выражаемых уравнения-

ми: х1 = sin π t, мм, и х1 = 2sin π t, мм. Определите амплитуду результирующего колебания, его частоту и начальную фазу. Напишите уравнение движения.

8.Точка совершает одновременно два гармонических колебания, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях

ивыражаемых уравнениями: х = 6cosπ t и у = 4sinπ t (длина в мм, время в секундах). Определите уравнение траектории точки, постройте ее с соблюдением масштаба и укажите направление движения.

9.Математический маятник отклонился при первом колебании в одну сторону на 10 см, при третьем колебании – на 8 см в ту же сторону. Определите: а) декремент; б) логарифмический декремент затухания.

10.Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью 15 м/с. Период колебаний точек шнура Т = 2,2 с. Определите длину волны.

11.Определите разность фаз колебаний источника волн, находящегося в упругой среде, и точки этой среды отстоящей на 3 м от источника. Частота колебаний равна 10 кГц, волны распространяются со скоростью 1500 м/с.

245

Модуль 3. Колебания и волны

Вариант 24

чальная фаза этих колебаний?

2. Зависимость координаты колеблющегося тела от времени представлена графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колебаний в виде x = Acos(ωt + φ0 ) .

3. Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График временной зависимости проекции его ускорения аx представлен на рисунке. Нарисуйте график, правильно отражающий зависимость проекции скорости vx от времени.

4.Точка колеблется с амплитудой 10 см и периодом 20 с. Начальная фаза равна нулю. Напишите уравнение колебаний. Найдите смещение от положения равновесия, скорость и ускорение точки

вмомент времени t = 2 с.

5.Материальная точка массой 5 г колеблется по уравнению

x= 5sin π(t +14), см.Напишите уравнение для силы, действующей

на точку, и уравнение кинетической энергии.

6.Однородный стержень длиной 1 м совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, проходящей на расстоянии 10 см от его верхнего конца. Определите периодколебаний стержня.

7.Точка участвует в двух одинаково направленных колебаниях:

х1 = А1 · sin ω t и х2 = А2 · соs ω t, где А1 = 1 см, А2 = 2 см, ω = 1 рад/с.

Определите амплитуду результирующихколебанийиихчастоту.

246

8. Точка одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях с циклическими частотами ωX = 2π, рад/с, и ωY. Траектория точки представлена на рисунке. Определите амплитуды, начальные фазы, частоты и напишите законы изменения коорди-

нат: x = A1 sin(ωX t + φ1 ) и y = A2 sin(ωY t + φ2 ) .

9. Задано уравнение колебаний x = 5e−0,2t sin( πt + π) , см. Чему

2 2

равна амплитуда и координата в момент времени 1 с.

10.Поперечная волна распространяется вдоль оси Х. Уравнение незатухающих колебаний источника дано в виде у = 10sin π t, см. Напишите уравнение координаты у для точек волны в момент t = 2 с после начала колебаний, если скорость волны 2 м/с.

11.Две точки находятся на одной прямой, вдоль которой распространяются волны со скоростью 50 м/с. Период колебаний 0,05 с. Расстояние между точками х = 50 см. Найдите разность фаз колебаний.

Модуль 3. Колебания и волны

Вариант 25

1. Уравнение гармонических колебаний тела имеет вид x = 4sin π(t + 0,1), см. Определите амплитуду, циклическую часто-

ту, период и начальную фазу этих колебаний. 2. Зависимость координа-

ты колеблющегося тела от времени представлена графиком на рисунке. Напишите в СИ уравнение гармонических колебаний в виде x = Asin(ωt + φ0 ) .

247

3.Линейный гармонический осциллятор совершает колебания. График временной зависимости его координаты х представлен на рисунке. Нарисуйте график, правильно отражающий зависимость проекции скорости vx от времени.

4.Уравнение гармонического колебания тела имеет вид x = 5sin π(t + 0,5), см.

Определите максимальное ускорение и скорость в момент времени t = 1 с.

5. Уравнение гармонического колебания тела массой 2 кг имеет вид x = 5cos(2πt + π4), см . Определите кинетическую и потенциальную энергию в момент времени t = 4 с.

6.Однородный стержень длиной 1 м совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, проходящей на расстоянии 10 см от его верхнего конца. Определите частоту колебаний.

7.Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами Т = 1 с и амплитудами А1 = 2 см,

А2 = 3 см. Начальные фазы колебаний ϕ 1 = π /2 и ϕ 2 = π /4. Определите амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Напишите его уравнение.

8. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, заданных уравнениями: х = cos π t и у = cos(π t/2). Найдите уравнение траектории и вычертить ее с соблюдением масштаба.

9.Амплитуда 3-го колебания больше амплитуды 7-го колебания в 8 раз. Чему равен логарифмический декремент затухания?

10.Поперечная волна распространяется вдоль оси Х. Уравнение

незатухающих колебаний источника дано в виде у = 10sin 300π t, см. Найдите смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 50 см от источника колебаний через 0,01 с после начала колебаний. Скоростьраспространения колебаний150 м/с.

11. Две точки находятся на прямой, вдоль которой распространяются волны со скоростью 40 м/с. Частота колебаний 20 Гц, расстояние между точками 40 см. Найдите разность фаз колебаний этих точек.

248

Модуль 4. Основы молекулярной физики и термодинамики

Вариант 1

1.Найдите среднюю квадратичную скорость молекул воздуха притемпературеt = 17 ° С. Молярная массавоздуха = 0,029 кг/моль.

2.В баллоне объемом V = 10 л находится гелий под давлени-

ем р1 = 1 МПа при температуре Т1 = 300 К. После того как из баллона был израсходован гелий массой m = 10 г, температура в баллоне

понизилась до Т2 = 290 К. Определите давление р2 гелия, оставшегося в баллоне.

3.Вычислите удельные теплоемкости сV и сP газов: 1) гелия;

2)водорода; 3) углекислого газа.

4.Воздух, занимающий объемV1 = 1 лпридавлениир1 = 0,8 Мпа, изотермически расширился до V2 = 10 л. Определите работу, совершеннуюгазом.

5.Азот массой m = 5 кг, нагретый на ∆ Т = 150 К, сохранил неизменный объем V. Найдите: 1) количество теплоты Q, сообщен-

ное газу; 2) изменение ∆ U внутренней энергии; 3) совершенную газом работу.

6.Определите работу адиабатного расширения водорода массой m = 4 г, если температура газа понизилась на ∆Т = 10 К.

7.Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно, за

цикл получает от нагревателя количество теплоты QН = 2,512 кДж. Температура нагревателя ТН = 400 К, температура холодильника ТХ = 300 К. Найдите работу А, совершаемую машиной за одни цикл,

иколичество теплоты QХ, отдаваемое за один цикл холодильнику.

8.Вычислите изменение энтропии 1 л воды при нагревании ее от 0 до 100 ° С.

9.Барометр в кабине летящего вертолета показывает давление р = 90 кПа. На какой высоте h летит вертолет, если на

взлетной площадке барометр показал давление р0 = 100 кПа? Считать, что температура Т воздуха равна 290 К и не меняется с высотой.

10.Определите наиболее вероятную скорость молекул газа, плотность которого при давлении 40 кПа составляет 0,35 кг/м3.

249

Модуль 4. Основы молекулярной физики и термодинамики

Вариант 2

1. В сосуде объемом V = 2 л находится масса m = 10 г кислорода при давлении р = 90,6 кПа. Найдите среднюю квадратичную скорость молекул газа, число молекул, находящихся в сосуде

иплотность газа.

2.В баллоне емкостью V = 2,0 л находится аргон под давле-

нием р1 = 800 кПа и при температуре Т1 = 325 К. Когда из баллона было взято некоторое количество аргона, давление в баллоне пони-

зилось до р2 = 600 кПа, а температура установилась Т2 = 300 К. Определите массу аргона, взятого из баллона.

3.Найдите отношение удельных теплоемкостей сP/сV для ки-

слорода.

4.Какая работа совершается при изотермическом расширении водорода массой m = 5 г, взятого при температуре Т = 290 К, если объем газа увеличивается в 3 раза?

5.Водород занимает объем V1 = 10 м3 при давлении р1 = 100 кПа. Газ нагрели при постоянном объеме до давления р2 = 300 кПа. Опре-

делите: 1) изменение ∆ U внутренней энергии газа; 2) работу А, совершаемую газом; 3) количество теплоты Q, сообщенное газу.

6.Кислород, занимавший объем V1 = 1 л под давлением р1 = 1,2 Мпа, адиабатно расширился до объема V2 = 10 л. Определите работу расширения газа.

7.Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно, совершает за один цикл работу А = 2,94 кДж и отдает за один

цикл холодильнику количество теплоты QХ = 13,4 кДж. Найдите КПД цикла.

8.Нагретый докрасна кусок железа массой 2 кг при темпера-

туре Т1 = 880 К бросают в большое озеро, температура в котором Т2 = 280 К. Определите изменение энтропии куска железа.

9.На какой высоте h над поверхностью Земли атмосферное давление вдвое меньше, чем на ее поверхности? Считать, что температура Т воздуха равна 290 К и не меняется с высотой.

10.Определите наиболее вероятную скорость молекул азота при 27 ° С.

250