barkov_sbornik_zadach_2011

4.Горизонтальная платформа – однородный диск радиусом R м, массой 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая 10 об/с. Человек массой 70 кг стоит на расстоянии R/4 от центра платформы. Сколько оборотов

всекунду будет делать платформа, если расстояние человека от центра станет равным 0 м? Человек – точечная масса.

5.Маховик, момент инерции которого равен 25 кг·м2, начал вращаться равноускоренно из состояния покоя под действием момента силы М = 10 Н·м. Вращение продолжалось в течение 5 с. Определите кинетическую энергию, приобретенную маховиком.

6.Колесо, вращаясь равнозамедленно, за 1 мин уменьшило частоту вращения от 300 до 180 об/мин. Момент инерции колеса I = 2 кг·м2. Найдите работу сил торможения.

7.Каким должен быть радиус круговой орбиты искусственного спутника Земли, для того чтобы он все время находился над одной точкой земной поверхности на экваторе? Масса Земли 6 · 1024 кг.

8.В два колена U-образной трубки налиты вода и масло

(ρ = 900 кг/м3), разделенные ртутью. Поверхности раздела ртути и жидкостей в обоих коленах находятся на одной высоте. Определите высоту столба воды, если высота столба масла 20 см.

9.В цилиндрический сосуд радиусом 10 см налита вода. В сосуд опускают деревянный брусок массой 628 г. На сколько поднимется уровень воды?

10.На горизонтальной поверхности лежит брусок массой 2 кг.

Кбруску прикреплена пружина жесткостью 100 Н/м. К свободному концу пружины приложили горизонтальную силу, растягивающую пружину. Какую работу совершит сила к моменту, когда брусок начнет скользить? Коэффициент трения между бруском и поверхностью 0,5.

Модуль 2. Динамика вращательного движения

Вариант 17

1. Найдите момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей через середину радиуса и перпендикулярно к нему. Масса шара т, радиус R.

201

2. Шар массой 10 кг и радиусом 20 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шара имеет вид φ = A + Bt2 + Ct3, где В = 4 рад/с2, С = 1 рад/с3. Определите момент сил М в момент времени t = 2 с.

3. Определите момент импульса диска массой m и радиусом R, вращающегося с частотой ν вокруг оси ОО′(рисунок).

4. На скамье Жуковского, вращающейся около вертикальной оси с частотой ν 1 = 3 об/с, стоит человек и держит на

вытянутых руках (l1 = 1,5 м) 2 гири. Когда человек опускает руки, расстояние между гирями становится равным 0,4 м, а частота вращения – 5 об/с. Момент инерции человека и скамьи 10 кг м2. Определите массу одной гири.

5.Сплошной диск массой 2 кг катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Линейная скорость оси цилиндра равна 2 м/с. Определите полную кинетическую энергию цилиндра.

6.По ободу шкива, насаженного на общую ось с маховым колесом, намотана нить, к концу которой подвешен груз массой 1 кг. На какое расстояние h должен опуститься груз, чтобы колесо со шкивом получило частоту вращения 60 об/мин? Момент инерции колеса со шкивом I = 0,42 кг·м2, радиус шкива R = 10 см.

7.Найдите период обращения Луны вокруг Земли, если Луна

движется по круговой орбите радиуса 3,8 · 108 м. Масса Зем-

ли 6 · 1024 кг.

8.Отверстие в дне нефтяного бака заделано цилиндрической пробкой. Чтобы выдавить пробку наружу, надо приложить к ней силу 16 Н. До какой предельной высоты можно наливать в этот бак нефть, если площадь пробки 10 см2? Плотность нефти 800 кг/м3.

9.Медный шар с внутренней полостью весит в воздухе 2,64 Н,

вводе 2,21 Н. Определите объем внутренней полости шара. Плотность меди 8,8 г/см3.

10.Железнодорожный вагон массой 20 т надвигается на упор со скоростью 0,2 м/с. Обе буферные пружины вагона сжимаются, каждая на 4 см. Определите максимальное значение силы, действующей на каждую пружину.

202

Модуль 2. Динамика вращательного движения

Вариант 18

1.На концах однородного тонкого стержня длиной 1 м и массой 3m прикреплены маленькие шарики массами m и 2m. Определите момент инерции такой системы относительно оси,

перпендикулярной стержню и проходящей через точку О, лежащую на оси, стержня. Принять m = 0,1 кг.

2.К ободу однородного сплошного диска радиусом 0,5 м приложена постоянная касательная сила 100 Н. При вращении диска на

него действует момент сил трения Мтр = 2 Н·м. Определите массу диска, если угловое ускорение постоянно и равно 16 рад/с2.

3.Определите момент импульса диска массой m и радиусом R, вращающегося с частотой

νвокруг оси ОО′ (рисунок).

4.На скамье Жуковского, вращающейся около вертикаль-

ной оси, с частотой ν 1 = 1 об/с, стоит человек и держит на вытянутых руках 2 гири массой по 5 кг каждая. Расстояние между гирями 1,5 м. Когда человек опускает руки, расстояние между гирями становится равным 0,4 м. Момент инерции человека и скамьи I = 8 кг м2. Определите частоту вращения ν 2 после опускания гирь.

5.Обруч и сплошной цилиндр, имеющие одинаковую массу m = 2 кг, катятся без скольжения с одинаковой скоростью 2 м/с. Определите отношение кинетических энергий этих тел.

6.Однородный стержень длиной 1 м подвешен на горизонтальной оси, проходящей через верхний коней стержня. Какую скорость надо сообщить нижнему концу стержня, чтобы он сделал полный оборот вокруг оси?

7.Определите высоту, на которой ускорение свободного падения составляет 25 % от ускорения свободного падения на поверхности Земли.

203

8.Цистерна имеет форму лежащего на боку цилиндра диаметром 1 м. Через отверстие в верхней части цистерну доверху заполнили водой. С какой силой действует вода на вертикальную стенку цистерны?

9.Из водоема с помощью веревки медленно вытаскивают алюминиевый цилиндр длиной 60 см и площадью поперечного сечения 100 см2. Когда над поверхностью воды оказалась 1/4 часть длины цилиндра, веревка оборвалась. Найдите максимальную силу натяжения, которую выдерживает веревка. Плотность алюминия 3 т/м3.

10.При подготовке игрушечного пистолета к выстрелу пружину с жесткостью 800 Н/м сжали на 5 см. Какую скорость приобретает пуля массой 20 г при выстреле в горизонтальном направлении?

Модуль 2. Динамика вращательного движения

Вариант 19

1. На концах однородного тонкого стержня длиной 1 м и массой 3m прикреплены маленькие шарики массами m и 2m. Определите момент инерции такой системы

относительно оси перпендикулярной стержню и проходящей через точку О, лежащую на оси стержня. Принять m = 0,1 кг.

2.Маховое колесо, имеющее момент инерции 245 кг м2, вращается, делая 20 об/с. Через минуту после того, как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно остановилось. Найдите:

1)момент сил трения; 2) число оборотов колеса до полной остановки.

3.Определите момент импульса шара массой m и радиусом R, вращающегосясчастотойνвокругоси, проходящейчерезегоцентр.

4.Горизонтальная платформа массой 200 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая 10 об/с. Человек массой 60 кг стоит на расстоянии R/2 от центра платформы. Сколько оборотов в секунду будет делать платформа, если расстояние человека от центра станет равным R, м? Платформа – однородный диск радиусом R, м, человек – точечная масса.

204

5.Полная кинетическая энергия шара, катящегося по горизонтальной поверхности без скольжения, равна 24 Дж. Определите кинетическую энергию поступательного и вращательного движения шара.

6.Сплошной цилиндр скатился с наклонной плоскости высотой h = 15 см. Какую скорость и поступательного движения будет иметь цилиндр в конце наклонной плоскости?

7.Два алюминиевых шарика (ρ = 2700 кг/м3) радиусами r1 = 3 см и r2 = 5 см соприкасаются друг с другом. Определите силу их взаимодействия.

8.В сообщающиеся сосуды с ртутью долили: в один – сосуд

столб масла (ρм = 900 кг/м3) высотой 30 см, в другой – столб воды высотой 20,2 см. Определите разность уровней ртути в сосудах. Плотность ртути 13,6·103 кг/м3.

9.Каким может быть наибольший объем льдины, плавающей

вводе, если алюминиевый брусок объема 0,1 м3, положенный на льдину заставляет ее утонуть? Плотность льда 900 кг/м3, алюминия

2,7 · 103 кг/м3.

10.Вычислите работу силы упругости при изменении деформации пружины жесткостью 200 Н/м от 2 см до 6 см.

Модуль 2. Динамика вращательного движения

Вариант 20

1.На концах однородного тонкого стержня длиной 1 м и массой 3m прикреплены маленькие шарики массами m

и2m. Определите момент инерции такой системы относительно оси перпен-

дикулярной стержню и проходящей через точку О, лежащую на оси стержня. Принять m = 0,1 кг.

2.Маховик радиусом R = 0,2 м массой m = 10 кг соединен с мотором при помощи приводного ремня. Сила натяжения ремня, идущего без скольжения, Т = 14,7 Н. Какую частоту вращения будет иметь маховик через 10 с после начала движения?

205

3. Определите момент импульса шара массой m и радиусом R, вращающегося с частотой ν вокруг оси, совпадающей

скасательной к шару.

4.Горизонтальная платформа массой 100 кг вращается вокруг

вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая 5 об/с. Человек массой 60 кг стоит на расстоянии R/3 от центра платформы. Сколько оборотов в секунду будет делать платформа, если расстояние человека от центра станет равным R, м? Платформа – однородный диск радиусом R, м, человек – точечная масса.

5.Диск массой 2 кг и радиусом 0,5 м катится равномерно без скольжения по горизонтальной поверхности и за 2 с проходит 5 м. Какова его кинетическая энергия?

6.Горизонтальная платформа массой 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая 10 об/с. Человек массой 60 кг стоит в центре платформы. Когда человек переместился на расстояние 3/4 м от центра платформы, частота вращения стала равной 9,3 об/с. Платформа – однородный диск, человек – точечная масса. Найдите работу, совершаемую человеком.

7.Чему равно ускорение свободного падения в точке, удалённой от поверхности Земли на расстояние, равное радиусу Земли?

8.В сообщающиеся сосуды одинакового сечения налита вода.

Водин из сосудов поверх воды долили столб масла высотой 40 см. На сколько сантиметров изменится уровень воды в другом сосуде? Плотность масла 800 кг/м3.

9.Цилиндрическую гирю, подвешенную к динамометру, опустили в воду (рисунок). При этом уровень воды в сосуде увеличился на 10 см, а показание динамометра изменилось на 1 Н. Найдите площадь поперечного сечения сосуда.

10.Стальной трос жесткостью 500 МН/м растянут на 4 мм. Вычислите потенциальную энергию упругой деформации троса.

206

Модуль 2. Динамика вращательного движения

Вариант 21

1.Вычислите момент инерции тонкого однородного стержня длиной l = 1 м и массой m = 0,5 кг с насаженным на него грузом массой 2m относительно оси ОО′. Груз принять за материальную точку.

2.На барабан радиусом R = 20 см, момент инерции которого I = 0,1 кг·м2, намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 0,5 кг. До начала вращения барабана высота груза над полом h = 1 м. Через какое время груз опустится до пола?

3.Определите момент импульса шара массой m и радиусом R, вращающегося с частотой ν вокруг оси, проходящей через середину радиуса.

4.На скамье Жуковского, вращающейся около вертикальной

оси, с частотой ν 1 = 1 об/с, стоит человек и держит на вытянутых руках 2 гири массой по 4 кг каждая. Расстояние между гирями 1,4 м. Когда человек опускает руки, расстояние между гирями становится равным 0,5 м, а частота вращения – 4 об/с. Определите момент инерции I человека и скамьи.

5.Обруч и диск одинаковой массы катятся без скольжения

содинаковой скоростью. Кинетическая энергия диска равна 4 Дж. Найдите кинетическую энергию обруча.

6.Полый тонкостенный цилиндр массой 0,5 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стену и отскакивает от нее. Скорость ци-

линдра до удара о стену v1 = 1,4 м/с, после удара v2 = 1 м/с. Определите выделившееся при ударе количество теплоты.

7.Ракета, пущенная вертикально вверх, поднялась на высоту 3200 км и начала падать. Какой путь пройдет ракета за первую секунду своего падения?

8.В сообщающихся сосудах одинакового сечения 20 см2 находится вода, закрытая легкими поршнями. На один из поршней помещают груз массой 160 г. На сколько сантиметров поднимется уровень воды в другом сосуде?

207

9.Морская вода на 3 % тяжелее речной. Чтобы пароход при переходе из моря в реку не изменил своей осадки, с него сняли 90 т груза. Определите первоначальную массу парохода с грузом.

10.Для растяжения пружины на 4 мм из недеформированного состояния необходимо совершить работу 0,02 Дж. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть эту же пружину из того же состояния на 4 см?

Модуль 2. Динамика вращательного движения

Вариант 22

1. На концах однородного тонкого стержня длиной 1 м и массой 3m прикреплены маленькие шарики массами m и 2m. Определите момент инерции такой системы относительно оси, перпендикулярной стержню и прохо-

дящей через точку О, лежащую на оси стержня. Принять m = 0,1 кг.

2.Тонкий однородный стержень длиной 1 м и массой 0,5 кг вращается около оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. С каким угловым ускорением вращается стержень, если на него действует вращающий момент М = 98,1 мН·м?

3.Определите момент импульса цилиндра массой m и радиусом R, вращающегося с частотой ν вокруг оси, совпадающей с одной из его образующих.

4.Горизонтальная платформа массой 100 кг вращается вокруг

вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая 5 об/с. Человек массой 60 кг стоит на расстоянии R от центра платформы. Сколько оборотов в секунду будет делать платформа, если расстояние человека от центра станет равным R/3 м? Платформа – однородный диск радиусом R, м, человек – точечная масса.

5.Диск катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Полная кинетическая энергия диска равна 24 Дж. Определите кинетическую энергию поступательного и вращательного движения диска.

6.Колесо радиусом R = 30 см и массой m = 3 кг скатывается без трения по наклонной плоскости длиной 5 м и углом наклона

208

α = 25°. Определите момент инерции колеса, если его скорость в конце движения стала 4,6 м/с.

7. Зависимость потенциальной энергии тела в центральном поле от расстояния r до центра поля задается функцией

WП (r) = A − B (А = 6 мкДж·м2, В = 0,3 мДж·м). Определите, при r 2 r

каком значении r потенциальная энергия тела принимает максимальное значение.

8.В узкую пробирку налита вода до уровня 10 см. Когда пробирку отклонили на некоторый угол от вертикали, давление воды на ее дно уменьшилось в два раза. При этом из пробирки не вылилось ни капли воды. Определите угол, на который отклонили пробирку от вертикали.

9.На тело, погруженное в воду, действует сила Архимеда, составляющая шестуючастьеговесав воде. Определитеплотностьтела.

10.На конце нити, перекинутой через блок, подвешено тело массы 30 г. Другой конец нити соединен с легкой пружиной, к которой прикреплено тело массой 50 г. Длина пружины в нерастянутом состоянии 10 см. Под действием силы 0,1 Н пружина удлиняется на 2 см. Найдите длину пружины во время движения грузов.

Модуль 2. Динамика вращательного движения

Вариант 23

1.Вычислите момент инерции тонкого однородного стержня длиной l = 1 м и массой m = 0,5 кг

снасаженным на него грузом массой 2m относительно оси ОО′ (рисунок). Груз принять за материальную точку.

2.Однородный диск радиусом 0,2 м и массой 5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно к его плоскости. Зависимость угловой скорости от времени даётся уравнением ω = А + Вt, где В = 8 рад/с2. Найдите касательную силу, приложенную к ободу диска.

209

3.Определите момент импульса цилиндра массой m и радиусом R, вращающегося с частотой ν вокруг его оси симметрии.

4.Человек стоит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч массой m = 0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью 20 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии r = 0,8 м от вертикальной оси вращения скамьи. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим мяч, если суммарный момент инерции человека и скамьи равен 6 кг·м2?

5.К ободу сплошного однородного диска массой 5 кг приложена постоянная касательная сила F = 20 Н. Определите кинетическую энергию диска через 5 с после начала действия силы.

6.Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого I = 1,5 кг·м2, вращаясь при торможении равнозамедленно, за 1 мин уменьшил частоту своего вращения с 240 до 120 об/мин. Определите работу сил торможения.

7.Какова первая космическая скорость для планеты, масса

ирадиус которой в два раза больше, чем у Земли?

8.Аквариум прямоугольной формы на 2/3 объема заполнен водой. Определите величину силы давления воды на стенку аквариума длиной 40 см и высотой 30 см.

9.Льдина равномерной толщины плавает, выступая над уровнем воды на высоту 2 см. Найдите массу льдины, если площадь ее основания 200 см2. Плотность льда 900 кг/м3.

10.На горизонтальном диске, который может вращаться вокруг вертикальной оси, лежит шайба массой 150 г. Шайба соединена легкой пружиной длиной в недеформированном состоянии 20 см с осью диска. Определите жесткость пружины, если при угловой скорости диска 4 рад/с пружина растягивается на 2 см. Коэффициент трения между шайбой и поверхностью диска 0,2.

Модуль 2. Динамика вращательного движения

Вариант 24

1. На концах однородного тонкого стержня длиной 1 м и массой 3m прикреплены маленькие шарики массами m и 2m. Определите момент инер-

210