barkov_sbornik_zadach_2011
.pdf
Магнитную индукцию В2 найдем, воспользовавшись выра-
жением для магнитной индукции в центре кругового тока: B = µ0 I . 2R
В нашем случае магнитное поле в точке О создается лишь по-
ловиной кругового тока, поэтому B2 = µ0 I . 4R
Магнитную индукцию В3 найдем, применив соотношение (4),
пример 1: B3 = µ0 I (cosα1 − cosα2 ) . 4πr0
|
В нашем случае r0 = R, α 1 = π /2 (cos α 1 = 0), α 2 →π |
(cos α 2 = –1). |
||||||
Тогда B3 = |
µ0 I |
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
||||||
|
|
|
4πR |
|
= µ0 I + |
|||
|
Используя найденные выражения, получим В = В2 |
+ В3 |
||||||
|
µ0 I |
|
|
|
µ0 I |
|
|
4R |
+ |
, получим B = |
(π+1) . |
|
|
||||
|
4πR |
|
|
|
4πR |
|
|
|
Произведем вычисления:
В = 4π 10−7 80 (π+1) = 3,31 10–4 Тл. 4π 0,1
№ 3. По двум параллельным прямым проводам длиной l = 2 м каждый, находящихся на расстоянии d = 20 см друг от друга, текут одинаковые токи I = 1 кА. Вычислить силу взаимодействия токов.
Р е ш е н и е.
Взаимодействие двух проводов, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток создает магнитное поле, которое действует на другой провод.
Предположим, что оба тока (обозначим их I1 и I2) текут в одном направлении. Ток I1 создает в месте расположения второго провода (с токомG I2) магнитное поле, направление вектора магнитной
индукции B1 определяется по правилу буравчика. Модуль магнитной индукции В1 задается соотношением
B1 = |
µ0 I |
. |
(1) |
|
|||
|
2πd |
|
|
111
|
|
|
G |
|
Согласно закону Ампера, на каждый элемент dl второго про- |
||
вода действует в магнитном поле сила |
dF = I2 B1dl sin α. Так как век- |
||
тор |
G |
G |
sin α = 1 , и тогда dF = I2B1dl. |
dl перпендикулярен вектору |
B , |
||
Подставив в это выражение значение В1, получим
dF = µ0 I1I2 dl . 2πd
Силу F взаимодействия токов найдем интегрированием:
|
|
|
|
|
|
µ0 I1I2 |
|
l |
µ0 I1I2 |
|
|
|
|
|
|
|
F = |
|
∫dl = |
l . |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2π d |
0 |
2π d |
|||
|
|
|
|
|
Учитывая, что |
I1 = I2 = I, |
|||||
|
|
|
получим |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
F = |
µ0 I 2l . |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2π d |
|
|
|
Произведем вычисления: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
F = |
4π10−7 (103 )2 2,5 |
H=2,5 H |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2π0, 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Сила |
G |
сонаправлена с силой |
G |
|
|
G |
|||||
F |
dF , а направление |
dF опреде- |
|||||||||
ляется правилом левой руки.
№4. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U = 600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,3 Тл
иначалдвигатьсяпоокружности. ВычислитьрадиусR окружности.
Ре ш е н и е.
Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле будет происходить по окружности только в том случае, если частица влетитG в магнитное поле перпендикулярно линиям индукции:
vG B . Так как сила Лоренца перпендикулярна вектору vG, она сообщает частице (протону) нормальное ускорение aGn .
112
СогласновторомузаконуНьютона, |
|||||
|
|
|
|
Fл = maGn , |
(1) |
где m – |
масса протона. На рисунке |
||||
совмещена траектория протона с плос- |
|||||
костью чертежа и дано (произвольно) |
|||||
направление вектора скорости vG |
. Си- |
||||
лу Лоренца направим перпендикуляр- |
|||||
но вектору |
vG |
к |
центру окружности |
||
(векторы |
aGn |
и |
G |
сонаправлены.). Ис- |
|
Fл |
|||||
пользуя правило левой руки, определим направление магнитных |
||
G |
|
|
силовых линий (направление вектора B ). |
|
|
Перепишем выражение (1) в скалярной форме (в проекции |
||
на радиус): |
|
|
Fл = man. |
|
(2) |
В скалярной форме Fл = qvBsin α . В нашем случае |
G |
G |
v |
B |
|
и sin α = 1, тогда Fл = qvB. Так как нормальное ускорение an = v2/R, выражение (2) перепишем следующим образом: qvB = mv2/R. Отсюда выразим радиус окружности:
R = mv/(qB). |
(3) |
Скорость протона найдем, воспользовавшись связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энер-
гии протона, т.е. А = ∆ W, или q(ϕ 1 – ϕ 2) = W2 – W1, где (ϕ 1 – ϕ 2) = U – ускоряющая разность потенциалов (или ускоряющее напряжение);
W1 и W2 – начальная и конечная кинетические энергии протона. Пренебрегая начальной кинетической энергией протона W1 ≈ 0
и учитывая, что Wк = mv2/2, получим qU = mv2/2.
Найдем из этого выражения скорость v = |
2qU |
и подставим |
||||
|
||||||
|
|
|
|
|
m |
|
ее в формулу (3), в результате получим |
|
|
||||
R = |
1 |
|
2mU |
. |
(4) |
|
B |
|
|||||
|
|
q |
|
|
||
113
Произведемвычисления: R = |
|
1 |
|
|
2 1,6710−27 |
600 |
м= 0,0118 |
м. |
|
|
|
|
1,610−19 |
|
|||
0,3 |
|
|
|
|||||
№ 5. Электрон, влетев в |
|
однородное |
магнитное поле |
|||||
(В = 0,2 Тл), стал двигаться по окружности радиуса R = 5 см. Определить магнитный момент рm эквивалентного кругового тока.
Р е ш е н и е.
Электрон начинает двигаться по окружности, если он влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции.
Движение электрона по окружности эквивалентно току, кото-
рый в данном случае определяется выражением: Iэкв |
= |
q |
|
= |
e |
, где |
||||
∆ t |
|
|||||||||
е – заряд электрона; Т – период его обращения. |
|
|
|
|
T |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Период обращения можно найти через скорость электрона и |
||||||||||
путь, проходимый электроном за период Т = (2π R)/v. Тогда |
|
|
|
|
||||||
Iэкв = |
ev |
. |
|
|
|
|
(1) |
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
2πR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По определению, магнитный момент контура с током выра- |
||||||||||
жается соотношением |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Pm = IэквS, |
|
|
|
|
(2) |
|||||
где S – площадь, ограниченная окружностью, описываемой элек- |
||||||||||
троном S = π R2. Учитывая (1), (2) и (3), получим Рm = |
|
ev |
|
π R2 или |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2π R |
||||||
Pm = 1 evR.
v электрона находим v = eBR . Подставив это выражение в (4) для m
2 2
магнитного момента Pm электрона получим Pm = e BR . 2m
Произведем вычисления:
114
Pm = |
(1, 6 10−19 ) 0, 2 (0, 05)2 |
= 7, 03 10−12 |
А·м2. |
|
2 9,110−31 |
||||
|
|
|
№ 6. На железный стержень длиной 50 см и сечением 2 см2 намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится 20 витков. Определить энергию магнитного поля в сердечнике соленоида, если сила тока в обмотке 0,5 А.
Р е ш е н и е.
Энергия магнитного поля соленоида с индуктивностью L, по обмотке которого течет ток I, выражается формулой
W = |
1 |
LI 2 . |
(1) |
|
|||
2 |
|
|
|
Индуктивность соленоида зависит от числа витков на единицу длины n, от объема сердечника V и от магнитной проницаемо-
сти сердечника, т.е. L = n2V, где – магнитная постоянная.
0 0
Магнитную проницаемость можно выразить следующей
формулой: µ = |
B |
, где В – индукция магнитного поля; Н – на- |
|
||
|
µ0 H |
|
пряженность.
Подставив в формулу (1) выражение индуктивности L и маг-
нитной проницаемости, получим W = 1 B n2VI 2 . 2 H
Объем сердечника выразим через длину l и сечение S:
W= 1 B n2 I 2 Sl. 2 H
Напряженность магнитного поля найдем по формуле Н = nI. ПодставивданныевединицахСИ, получим: Н= 2 103 · 0,5 А/м=
= 103 А/м.
Значению напряженности намагничивающего поля в 103 А/м в железе соответствует индукция В = 1,3 Тл (см. график зависимости между Н и В в приложении).
Произведем вычисления:
W= 1 1,3 (2103 )2 (0,5)2 210−4 0,5 Дж = 0,065 Дж. 2 103
115
№ 7. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток I = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (В = 1 Тл). Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол ϕ = 90°. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.
Р е ш е н и е.
На контур с током в магнитном поле действует момент силы
|
|
|
M = pmB sinϕ , |
(1) |
|
|
|
где pm – магнитный момент контура, |
|||
|
|
pm = I · S= |
I · a2; В – индукция магнит- |
||
|
|
ного поля; |
ϕ – угол между вектором |
||
|
|
pm (направлен по нормали к контуру) |
|||
|
|
ивектором |
G |
|
|
|
|
B . |
|
||
|
|
По условию задачи в начальном |
|||
|
|
положении контур свободно установился |
|||
|
|
вмагнитномполе. Приэтоммоментсилы |
|||
|
G |
равен нулю (М = 0), а значит, угол ϕ |
= 0, |
||
т.е. векторы |
сонаправлены. Есливнешниесилывыведутконтур |
||||
pGm и B |
|||||
из положения равновесия, то возникший момент сил будет стремиться возвратитьконтурвисходноеположение. Противэтогомоментаибудет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла поворота ϕ ), для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме dA = Mdϕ . Учитывая формулу (1),
получаемdA = IBa2sinϕ dϕ .
Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при пово-
|
|
φ |
|
роте на конечный угол |
A = IBa2 ∫sinφdφ. Работа при повороте на |
||
угол ϕ = 90° |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
π/ 2 |
|
A = IBa2 |
π∫/ 2 sinφdφ = IBa2 (− cos φ) | = IBa2 . |
(2) |
|
|
0 |
0 |
|
Произведем вычисления: А = 100 · 1(0,1) 2 = 1 Дж. Варианты заданий приведены на стр. 339–377.
116
ГЛАВА 4. ОПТИКА. АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
4.1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Здесь можно выделить следующие типы задач: задачи на отражение света, задачи на преломление света и задачи на линзы.
Первую группу составляют задачи на построение изображения в плоском зеркале с использованием закона отражения. При построении изображения предмета в плоском зеркале следует помнить, что все лучи, исходящие из какой-либо точки предмета А, после отражения от зеркала пойдут так, что их продолжения будут пересекаться за зеркалом в одной и той же точке А1, которая является мнимым изображением точки А. В результате изображение предмета получается прямым, мнимым, равным по величине самому предмету, расположенному симметрично с ним по отношению к плоскости зеркала.
Задачи второй группы сравнительно просты. Их решают на основании формулы закона преломления с использованием геометрии и тригонометрии. При решении задачи нужно прежде всего сделать чертеж, где следует указать ход лучей, идущих из одной среды в другую. Перед тем как чертить преломленный луч, необходимо установить, переходит ли он из оптически менее плотной среды в более плотную или наоборот. В зависимости от этого луч отклоняется от своего начального направления или приближаясь к нормали в точке падения или удаляясь от нее. После того как сделан чертеж, нужно записать формулу закона преломления для каждого перехода луча из одной среды в другую и составить вспомогательные уравнения, связывающие углы и расстояния, используемые в задаче.
Задачи третьей группы – на построение изображения в одиночных линзах и расчеты, связанные с этим изображением – решаются почти так же, как и задачи на зеркала. Для каждого положения предмета нужно построить изображение, отметить характерные точки линзы (F и 2F), расстояния от линзы до предмета и его изо-
117
бражения (d и f) и записать формулу линзы и формулу увеличения, связывающие расстояния d, f и F. Добавив к основным уравнениям вспомогательные (обычно они устанавливают дополнительные связи между расстоянием от линзы до предмета и изображения), нужно решить полученную систему уравнений.
Основные формулы
1. Отношение синуса угла падения i1 к синусу угла преломления i2 для данной пары веществ есть величина постоянная, называемая относительным показателем преломления второго вещества относительно первого:
n21 = sin i1 .
Абсолютным показателем преломления какого-либо вещества называется показатель преломления этого вещества по отношению к вакууму или воздуху.
Относительный показатель преломления второго вещества относительно первого n21 равен отношению абсолютных показателей преломления этих веществ:
n21 = n2 .
n1
Если луч света переходит из оптически более плотного вещества (n1) в оптически менее плотное (n2 < n1), то при некотором предельном значении угла падения iпред угол преломления становится равным 90°, преломленный луч исчезает, а падающий испытывает полное отражение. Предельный угол определяется из формулы
sin iпред = |
n2 |
, где n2 < n1. |
|
n1 |
|||
|
|
||
2. Формула тонкой линзы: |
|
||
1 + 1 = 1 (собирающая линза), d f F
118
1 − 1 = − 1 (рассеивающая линза), d f F
где d – расстояние от предмета до линзы; f – расстояние от линзы до изображения, F – фокусное расстояние линзы.
Оптичская сила линзы |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
D = |
1 |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
F |
|
|
||
Линейное увеличение предмета – |
это отношение размера изо- |
||||||||
бражения Н к размеру предмета h: |
|
|
|||||||
Γ = |
Н |
= |
f |
= |
|
F |
. |
||
|
|
|
|
||||||
|
h |
d d |
− F |
||||||
Примеры решения задач
№ 1. На стеклянную пластинку, показатель преломления которой 1,5, падает луч света. Найти угол падения луча, если угол между отраженным и преломленным лучами 90°.
Р е ш е н и е.
Из рисунка видно, что α + β + γ = π , откуда β = π – γ – α = π /2 – α . С другой сто-
роны, по закону преломления sin α = n . Но sin β
sin β = sin(π /2 – α ) = cos α . Тогда sin α = n cos α
или tg α = n, откуда α = arctg n = 0,98 рад.
№ 2. В фокусе рассеивающей линзы установлен предмет высотой 5 см. На каком расстоянии от линзы находится изображение? Определите размеры изображения. Фокусное расстояние линзы 10 см.
Р е ш е н и е.
Для рассеиваюшей линзы формула тонкой линзы имеет вид
119
откуда
hx = h f d
1 − 1 = − 1 , d f F
где d = F, откуда находим расстояние мнимого изображения от линзы
f = F = 0,05 м.
2 |
|
|
|
|
||
|
|
Увеличение Γ = |
f |
= |
hx |
, |
|
|
|||||
|
|
|
d |
h |
||
= |
0,05 0,05 |
= 0,025 м. |
|
|
||
|
|
|
||||
0,1 |
|
|
|
|
|
|
4.2. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
Волновой оптикой называют раздел физики, в котором изучаются оптические явления на основе представления о свете как электромагнитной волне. Основной задачей волновой оптики является установление закономерностей распространения световых волн в прозрачных средах и взаимодействия света с веществом. Волновой характер света проявляется в таких физических явлениях, как интерференция, дифракция и поляризация.
Задачи на интерференцию света делятся в основном на две группы: задачи, связанные с интерференцией волн от двух когерентных источников, и задачи на интерференцию в тонких пленках.
Если когерентные источники образуются путем разделения одного и того же источника на два (с помощью зеркал, призм или как-либо еще), то предварительно нужно определить положение этих источников друг относительно друга и относительно экрана. Для этого следует воспользоваться законами геометрической оптики. Далее если положения источников света известны, то координа-
120