barkov_sbornik_zadach_2011

5. Момент инерции платформы – диска

I1 = 1 mR2 , 2

момент инерции человека – материальной точки

I2 = 0; I′2 = m2R2.

Угловая скорость платформы ω до перехода человека

ω = 2π n.

6. Подставим выражения I1, I2, I′2 и ω в формулу (3)

2

v = 0,5m1R 2πnR 0,5m1R2 + m2 R2

и упростим:

7. Подставляем числовые значения величин:

№ 3. На краю диска, масса которого m и радиус R, стоит человек массой M. Диск совершает вращательное движение с частотой n об/с. Чему равна кинетическая энергия системы? Чему равна работа внешних сил, в результате действия которых частота вращения увеличивается вдвое?

Р е ш е н и е.

Запишем формулу кинетической энергии вращающегося тела:

где I – момент инерции системы; ω – угловая скорость вращения системы.

31

Выразим момент инерции системы I и угловую скорость ω . Момент инерции системы складывается из моментов инерции тел системы:

I = I1 + I2,

2

где I1 – момент инерции диска, I1 = mR ; I2 – момент инерции чело- 2

века, I2 = MR2 . Угловая скорость ω = 2π n. Подставим выражения I1 и I2 в формулу (1):

Работу сил определяем по теореме об изменении кинетической энергии:

Eк2 − Eк1 = ∑ A .

Используя уравнение (2) и условие n2 = 2n1, запишем:

А = π 2 4n2R2(m + 2M) – π 2 n2R2(m + 2M) = 3π 2 n2R2(m + 2M).

1.4. ГИДРОМЕХАНИКА

Основная задача гидромеханики состоит в том, чтобы найти законы распределения давлений и скоростей внутри жидкости. Сравнительно просто эта задача решается для идеальной несжимаемой жидкости, в которой отсутствуют силы трения между ее слоями (нет вязкости). Со стороны идеальной жидкости на тела могут действовать только нормальные силы упругости.

Задачи, связанные с нахождением давлений и сил давления в какой-либо точке внутри жидкости, решаются на основании закона Паскаля и вытекающих из него следствий. К ним можно отнести задачи на сообщающиеся сосуды. Порядок их решения может быть следующим:

32

1.Сделать схематический чертеж и отметить равновесные уровни жидкости, которые она занимает по условию задачи. Если даны сообщающиеся сосуды с разнородными жидкостями, то нужно отметить уровни каждой из них. Затем следует выбрать поверхность нулевого уровня, от которого будут отсчитываться высоты столбов всех жидкостей. Эта поверхность должна проходить через однородную жидкость; обычно ее выбирают на нижней границе раздела сред (жидкость– жидкость, жидкость– воздух) или на уровне трубки, соединяющей сосуды. Если по условию задачи происходит перетекание жидкости из одного сосуда в другой и при этом имеется два или несколько равновесных состояний жидкостей, то необходимо отметить высоты всех уровней, отсчитываяихотповерхностинулевогоуровня.

2.Указав высоты столбов всех жидкостей в сосудах относительно поверхности нулевого уровня, следует записать уравнение равновесия жидкостей.

3.Составив уравнение равновесия, следует, при необходимости, дополнить его условиями, которые связывают между собой вы-

соты h1, h2 и т.д. Например, если жидкость перетекала из одного сосуда в другой, то обычно в качестве дополнительного условия используется свойство несжимаемости жидкостей: при уменьшении объема жидкости в одном из сосудов объем этой жидкости в другом сосуде увеличивается на такую же величину. Совместное решение полученных уравнений позволяет найти искомые величины.

В другую группу задач можно выделить задачи на применение силы Архимеда при плавании или движении тел в жидкости. Принципиально решение таких задач не отличается от решения задач статики и динамики. Здесь, кроме сил, рассмотренных в подразд. 2.2, должна быть учтена сила Архимеда.

Основные формулы

1. Давление, производимое силой F, равномерно распределенной по плоской поверхности площадью S и действующей перпендикулярно поверхности, находим следующим образом:

p = F . S

33

2. Давление, создаваемое покоящейся жидкостью, называют гидростатическим.

При отсутствии движения внутри идеальной жидкости, находящейся в равновесии, давление, производимое жидкостью на глубине h, вычисляется по формуле:

p = ρgh,

где ρ – плотность жидкости; g – модуль ускорения свободного падения.

Формула носит общий характер: давление не зависит от того, какую форму имеет сосуд, содержащий жидкость.

3. На тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, модуль которой равен весу жидкости, вытесненной телом:

FA = ρжgV,

где ρж – плотность жидкости; V – объем вытесненной жидкости. 4. Уравнение Бернулли:

ρv2 + ρgh + p = const. 2

Примеры решения задач

№ 4. В сообщающихся сосудах находится ртуть. Площадь сечения одного сосуда в 2 раза больше, чем другого. В узкий сосуд наливают столб воды высотой 1,02 м. На сколько миллиметров поднимется ртуть в широком сосуде? Плотность ртути 13600 кг/м3.

Р е ш е н и е. Приравнивая давления в со-

судах на уровне границы ртути с водой, придем к уравнению

ρрт · hрт = ρв · hв.

Обозначив за x изменение уровня ртути в широком сосуде, запишем условие неизменности объема ртути:

34

2S · x = S(hрт – x)

(увеличение объема ртути в широком сосуде равно уменьшению в узком сосуде). Решая совместно эти уравнения, получаем:

x = ρвhв = 25 · 10–3 м = 25 мм.

3ρрт

№ 5. Однородное тело плавает на поверхности керосина (ρк = 800 кг/м3) так, что объем погруженной части составляет 0,92 всего объема тела. Определить объем погруженной части при плавании тела на поверхности воды.

Р е ш е н и е.

Обозначим: V – объем всего тела; VПк – объем погруженной части тела, плавающего в керосине; VПв – объем по-

груженной части тела, плавающего в воде. На тело, плавающее в керосине, действуют: mg – сила тяжести; F = ρкVП·g – сила Архимеда. Из условия плавания следует, чтоmg = F, или

Варианты заданий приведены на стр. 182–213.

35

1.5. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Колебательным называется такое движение, при котором тело многократно проходит одно и то же устойчивое положение равновесия. Если при этом оно возвращается в исходное положение через равные промежутки времени, то такие колебания называют периодическими. Если в периодических колебаниях изменения всех физических величин происходят по закону синуса (или косинуса), то такие колебания называются гармоническими, а частица, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором. Простейшей колебательной системой с одной степенью свободы является линейный осциллятор, описываемый дифференциальным уравнением

x′′ + ω02 x = 0 .

В данной системе реализуются гармонические колебания вида

x = A · sin(ω0 · t + α),

где А – амплитуда колебаний; ω0 – циклическая частота; α – начальная фаза.

Задачи данного подраздела можно условно разделить на три группы: задачи, требующие применения общих уравнений гармонических колебаний и задачи на сложение колебаний; задачи о математических и физических маятниках и задачи о распространении механических колебаний в пространстве, т.е. волн.

При решении задач первой группы следует обратить особое внимание на составление дифференциального уравнения для точки, совершающей гармонические колебания. Это уравнение в конечном итоге приводит к соотношению k = m ω 02, в котором коэффициент k должен быть выражен через те или иные величины, характеризующие колебательную систему. Нахождение выражения для этого коэффициента фактическиипредставляетосновноесодержаниезадачтакоготипа.

Для решения задач на сложение колебаний одного направления достаточно часто используется метод вращающегося вектора амплитуды (метод векторных диаграмм), когда складываемые колебания изображаются в виде двух векторов, и амплитуда и фаза результирующего колебания находятся по теореме косинусов.

36

При решения задач на сложение взаимно перпендикулярных колебаний для нахождения траектории результирующих колебаний можно воспользоваться уравнением эллипса:

В этом случае наибольшую сложность представляет определение φ0 – разности фаз складываемых колебаний. При этом надо помнить, что складываемые колебания должны иметь одинаковую частоту. В некоторых случаях задачи данного типа решаются с используем формул тригонометрии.

При решении задач второй группы нужно представлять, что при ускоренном движении точки подвеса математического маятника изменяется сила натяжения нити, что приводит к изменению равнодействующей силы и, следовательно, частоты и периода колебаний. Формулу периода колебаний легко получить для каждого конкретного случая, внося соответствующую поправку в формулу периода математического маятника:

Т = 2π аl ,

где l – длина подвеса; a – модуль ускорения, сообщаемого грузу силой натяжения нити. Если маятник в том или ином направлении приобретает переносное ускорение aП , то aG = gG − aGП . Найдя обыч-

ными методами модуль этого ускорения и подставив его в приведенную выше формулу, получим выражение для периода колебаний математического маятника с учетом движения точки подвеса.

Что касается задач на физический маятник, то здесь нужно хорошо знать понятие приведенной длины физического маятника, которая зависит от момента инерции маятника и расстояния между точкой подвеса и центром тяжести.

Решение задач третьей группы сводится обычно к записи уравнения плоской волны и соотношения между длиной волны и скоростью ее распространения, что дает возможность определить фазу (разность фаз) или смещение точки от положения равновесия в произвольный момент времени.

37

Основные формулы

1. Связь между периодом, циклической частотой и частотой:

аmax = A·ω2.

3. Динамические характеристики колебательного движения:

где I – момент инерции; b – расстояние от точки подвеса до центра тяжести; L – приведенная длина.

6. Сложение колебаний:

а) сложение колебаний одинаковой частоты, направленных вдоль одной прямой:

38

– амплитуда результирующего колебания

A = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos (φ2 − φ1 ),

– начальная фаза результирующего колебания

φ = arctg A1 sin φ1 + A2 sin φ2 , A1 cos φ1 + A2 cos φ2

где А1 и А2 – амплитуды складываемых колебаний, φ1 и φ2 – начальные фазы складываемых колебаний;

б) сложение взаимно перпендикулярных колебаний:

39

9.Уравнение плоской бегущей незатухающей волны:

x= A0 sin ω0t − 2πl .

λ

10.Вектор Умова:

p = w vG,

где w – объемная плотность энергии; v – скорость распространения волны. Его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны.

Примеры решения задач

№ 1. Материальная точка массой m = 0,01 кг совершает гармонические колебания по закону синуса с периодом Т = 2 с и начальной фазой ϕ 0, равной нулю. Полная энергия колеблющейся точки W = 0,1 мДж.

Требуется: найти амплитуду А колебаний; написать закон данных колебаний x = f (t); найти наибольшее значение силы Fmax, действующей на точку.

Р е ш е н и е.

1. Записываем закон гармонических колебаний

x = A sinω t.

Так как закон не дает возможности определить амплитуду А, следует обратиться к условию задачи и воспользоваться полной энергией Е. Полная энергия колеблющейся точки Е равна, например, ее максимальной кинетической энергии Wк,max.

W = Wк, max = mvmax2 .

2

40