barkov_sbornik_zadach_2011

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остается прежним, выразим разность потенциалов U2 следующим образом:

Варианты заданий приведены на стр. 275–310.

3.2. ПОСТОЯННЫЙ ТОК

Задачи на постоянный ток можно разделить на два типа: вычисление сопротивлений, сил токов или напряжений на какомлибо участке цепи; задачи на работу, мощность и тепловое действие тока.

Из задач первого типа можно выделить вспомогательную группу – задачи на вычисление сопротивлений отдельных проводников и соединений из них. Если в условии задачи указано, из какого материала изготовлен проводник, или приводятся сведения о его геометрических размерах или массе, то для нахождения неизвестной величины нужно воспользоваться формулой сопротивления и соотношением между массой, объемом и плотностью проводника. Решение задач на вычисление сопротивлений сложных соединений нужно начинать с анализа схемы и отыскания в ней каких-нибудь двух (иногда более) проводников, соединенных друг

91

с другом последовательно или параллельно. Их сопротивление следует заменить одним эквивалентным сопротивлением, используя соответствующие формулы:

и получить упрощенную схему. В схемах, представляющих собой комбинацию последовательно и параллельно включенных проводников, этот прием нужно применять несколько раз и таким образом найти общее сопротивление.

При решении задач на определение силы тока, напряжения или сопротивления на каком-либо участке цели следует:

а) начертить схему и указать на ней все элементы цепи – источники тока, резисторы и конденсаторы;

б) установить, какие элементы цепи включены последовательно, какие – параллельно;

в) расставить токи и напряжения на каждом участке цепи; г) используя законы Ома, установить связь между токами

и напряжениями (ЭДС). В результате получается система уравнений, полностью отражающая условия задачи и позволяющая определить искомую величину.

Задачи второго типа можно, в свою очередь, разбить на три группы. К первой группе относятся задачи на расчет электрической цепи, аналогичные рассмотренным выше. Для их решения составляют те же уравнения законов Ома, но к ним добавляют формулы мощности (работы). Особое внимание следует обратить на выбор исходной формулы мощности. Если речь идет о мощности, выделяемой на участке цепи, нужно пользоваться формулой

P = I U = I2 R = U2/R.

Мощность, развиваемая источником, – полная мощность, определяется по формуле

92

а мощность во внешней цепи источника тока

Ко второй группе относятся задачи на тепловое действие тока. Основным расчетным соотношением в них является закон Джоуля – Ленца:

Q = I2 R t.

Если участок цепи не содержит источников тока, то количество теплоты, выделяющееся на этом участке, можно определять по формуле

Q = I U t = U 2 t .

R

Третью, небольшую, группу составляют задачи о превращении электрической энергии в механическую, тепловую и химическую при работе электромашин постоянного тока. Решение таких задач основано на применении уравнения закона сохранения и превращения энергии.

Основные формулы

1. Сила тока

I = dq , dt

где q – заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время t.

Плотность тока

j = I/S,

где S – площадь поперечного сечения проводника.

Связь плотности тока со средней скоростью vG упорядоченного движения заряженных частиц

93

Gj = qn vG ,

неоднородного участка цепи), где ε – ЭДС источника тока; R – полное сопротивление участка (сумма внешних и внутренних сопротивлений). Знаки «+» или «–» выбираются в зависимости от полярности включения источника.

ление внешней цепи; r – сопротивление внутреннее (сопротивление источника тока).

3. Правила Кирхгофа:

сумма ЭДС в замкнутом контуре.

4. Сопротивление R и проводимость G однородного проводника:

на проводника; S – площадь поперечного сечения.

94

Зависимость удельного сопротивления от температуры:

ρ = ρ0 (1 + αt ) ,

где α – температурный коэффициент сопротивления; t – температура по шкале Цельсия.

Сопротивление системы проводников:

где Ri – сопротивление i-го проводника. 5. Работа тока:

dA = I U dt = I 2 R dt = U 2 dt . R

Закон Джоуля – Ленца (тепловое действие тока):

dQ = dA = I 2 Rdt,

где dQ – количество теплоты, выделяющейся в проводнике; dt – промежуток времени, в течение которого выделялось тепло.

Мощность тока полной цепи

P = Iε.

Мощность тока на внешнем участке цепи

P = IU = I2R = U2/R.

Закон Ома в дифференциальной форме

G G j = γ E .

Закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме

w = γ E2,

где w – объемная плотность тепловой мощности (количество тепла, выделяющегося в единице объема за единицу времени).

95

Примеры решения задач

№ 1. Сила тока в проводнике равномерно нарастает от I0 = 0 до I = 2 А в течение времени τ = 5 с. Определите заряд, прошедший по проводнику.

Р е ш е н и е.

Так как сила тока в проводнике изменяется, воспользоваться для подсчета заряда формулой Q= I · t нельзя. Поэтому возьмем дифференциал заряда dQ = I · dt и проинтегрируем:

Подставим числовые значения:

Q = 2 5 = 5 Кл. 2

№ 2. Найти полное сопротивление схемы (а), если она вклю-

чена в цепь в точках 1 и 2. R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R. Р е ш е н и е.

Очевидно, что сопротивления R3 и R5 соединены последовательно, так как в точке 4 разветвлений нет. Определив их общее сопротивление RЭ1 = 2R, представим схему в виде б. Теперь можно выделить параллельно соединенные сопротивления RЭ1 и R4. Сопро-

96

Число свободных электронов в отрезке проводника объемом V можно выразить следующим образом:

Подставив последовательно выражения п из формулы (4) в равенство (3) и N из формулы (3) в равенство (2), получим

I = NA ρ l S e .

M t

Отсюда найдем

Подставив выражение I в формулу (1), сократив на t и выразив площадь S сечения проводника через диаметр d, найдем среднюю скорость направленного движения электронов:

№ 4. Потенциометр с сопротивлением Rп = 100 Ом подключен к батарее, ЭДС которой ε = 160 В и внутреннее сопротивление r = 50 Ом. Определить показание вольтметра с сопротивлением Rv = 500 Ом, соединенным с одной из клемм потенциометра и подвижным контактом, установленным посередине потенциометра.

98

Какова разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключении вольтметра?

Р е ш е н и е.

Показание U1 вольтметра, подключенного к точкам А и В (рисунок), определяется по формуле

где I1 – сила тока в неразветвленной части цепи; R1 – сопротивление параллельно соединенных вольтметра и половины потенциометра.

Силу тока I1 найдем по закону Ома для всей цепи:

где R – сопротивление внешней цепи.

Внешнее сопротивление R есть сумма двух сопротивлений:

Если подставить значения I1 и R1 в формулу (1), то можно определить показание вольтметра: U1 = 1,03 · 45,5 В = 46,9 В.

99

Разность потенциалов между точками А и В при отключенном вольтметре равна произведению силы тока I2 на половину сопро-

Подставляя в эту формулу числовые значения, получим

№ 5. Электрическая цепь состоит из двух гальванических элементов, трех сопротивлений и гальванометра. В этой цепи R1 = 100 Ом, R2 = 50 Ом, R3 = 20 Ом, ЭДС элемента ε1 = 2 В. Гальванометр регистрирует ток I3 = 50 мА, идущий в направлении, указанном стрелкой. Определить ЭДС ε2 второго элемента. Сопротивлением гальванометра и внутренним сопротивлением элементов пренебречь.

Р е ш е н и е.

Выберем направления токов, как они показаны на рисунке, и условимся обходить контуры по часовой стрелке.

По первому правилу Кирхгофа для узлаF имеем

По второму правилу Кирхгофа имеем для контура АВСDFА:

–I1R1 – I2R2 = –ε1

или, после умножения обеих частей равенства на –1,

После подстановки числовых значений в формулы (1), (2) и (3) получим:

100