- •Классические ортогональные полиномы
- •Интегралы с полиномами Эрмита
- •Гармонический осциллятор
- •Примеры
- •3. Доказать, что фурье-преобразование не изменяет форму уравнения гармонического осциллятора.
- •Обобщенные полиномы Лагерра
- •Уравнение Лагерра
- •Формула Родрига
- •Полиномиальное представление
- •Полиномы низших степеней
- •Производящая функция
- •Рекуррентные соотношения
- •2. Дифференцируя далее (6.54), получаем
- •Следует
- •Связанные состояния электрона в АтомЕ водорода Характеристики атома протия
- •Решение уравнения методом факторизации
- •Физический смысл параметров
- •Частные случаи
- •Полиномы Лежандра
- •Уравнение Лежандра
- •Метод факторизации
- •Представление в виде полинома
- •Полиномы низших порядков
- •Дифференцируем
- •. (6.132)
- •7. Складываем (6.128) и (6.130)
- •Интегралы с полиномами лежандра
- •Полиномы Чебышева первого рода
- •Уравнение Чебышева
- •Метод факторизации
- •Тригонометрическое представление
- •Полиномы Чебышева второго рода
- •Разложения функции
- •Аппроксимация полиномом
Разложения функции
Функция, определенная при , разлагается по полиномам Чебышева
,
. (6.168)
Используя
(6.149)
, (6.167)
находим коэффициенты
,
,
,
. (6.169)
Аппроксимация полиномом
Исследуемая функция заменяется полиномом. В заданном интервале отклонение полинома от функции не превосходит определенного предела, вне интервала отклонение быстро увеличивается.
Полиномы Чебышева первого рода на интервале ограничены значениями
-
,
, при .
Согласно
, (6.153)
при полиномы возрастают с увеличениемn как геометрическая прогрессия
,
.
Среди всех полиномов степени n, нормированных на одинаковый старший коэффициент, полиномы Чебышева ведут себя экстремально – они наименее отклоняются от нуля на интервале и максимально – вне этого интервала.
Фильтр нижних частот F(,0)
Фильтр задерживает частоты выше порогового значения 0. Идеальный фильтр
.
Приближается к идеальному фильтру
. (6.172)
При ,– идеальный фильтр.
Фильтр нижних частот: ,и