Осциллятор в квантовой теории

В квантовой теории спектр энергии эквидистантный

, ,

уровню n сопоставляются n квантов энергии ;

– энергия вакуума.

Уравнение Шредингера

.

Для осциллятора учитываем

, (6.30)

получаем для состояния уравнение

.

Переходим к безразмерной координате

, ,

, ,

,

Для

,

с учетом

,

получаем уравнение

, (6.31)

Методом факторизации ранее получено решение (П.3.6) в виде функции Эрмита

. (6.32)

Из (6.3)

и (6.32) находим

.

Условие ортонормированности

Из (П.3.7)

при

получаем

,

. (6.33)

Учитывая , , , из (6.32) находим основное состояние

, (6.33а)

и первое возбужденное состояние

, . (6.33б)

Точки поворота классического осциллятора

, , , .

Рекуррентные соотношения

• Умножаем (6.15)

на и учитываем

, , ,

для

. (6.32)

находим

. (6.34)

• Дифференцируем

, (6.32)

.

Учитываем (6.12)

, ,

Получаем

. (6.35)

Из (6.35)

. (6.36)

• Из

(6.34)

выражаем

.

Подстановка в (6.35) дает

. (6.37)

Из (6.37) находим

. (6.38)

• Суммирование (6.35) и (6.37) дает

. (6.39)

Лестничные операторы

Изменяют состояние n на единицу

,

.

Из (6.36) и (6.38) получаем

,

. (6.40)

Матричный элемент

Вероятность перехода системы между состояниями под действие оператора выражается матричным элементом . По индексам переход происходит справа налево.

Математический смысл

В гильбертовом пространстве с базисом и весовой функцией матричный элемент оператора между ортами и определяется в виде скалярного произведения

, (1)

где A, B, – вещественные.

Физический смысл

– диагональный матричный элемент есть среднее значение величины f, описываемой оператором , в состоянии .

– недиагональный матричный элемент есть амплитуда вероятности перехода между состояниями под действием оператора .

Вероятность перехода

.

Операторы координаты и импульса

,

.

Эрмитовый оператор

. (2)

Операция эрмитового сопряжения «+» определяется в виде

,

.

Эрмитовый оператор в скалярном произведении функций можно переносить от одного сомножителя к другому

,

. (3)

Любой физический оператор является эрмитовым, это обеспечивает вещественность его собственных значений, т. е. результатов измерения соответствующей физической величины.