- •Классические ортогональные полиномы
- •Интегралы с полиномами Эрмита
- •Гармонический осциллятор
- •Примеры
- •3. Доказать, что фурье-преобразование не изменяет форму уравнения гармонического осциллятора.
- •Обобщенные полиномы Лагерра
- •Уравнение Лагерра
- •Формула Родрига
- •Полиномиальное представление
- •Полиномы низших степеней
- •Производящая функция
- •Рекуррентные соотношения
- •2. Дифференцируя далее (6.54), получаем
- •Следует
- •Связанные состояния электрона в АтомЕ водорода Характеристики атома протия
- •Решение уравнения методом факторизации
- •Физический смысл параметров
- •Частные случаи
- •Полиномы Лежандра
- •Уравнение Лежандра
- •Метод факторизации
- •Представление в виде полинома
- •Полиномы низших порядков
- •Дифференцируем
- •. (6.132)
- •7. Складываем (6.128) и (6.130)
- •Интегралы с полиномами лежандра
- •Полиномы Чебышева первого рода
- •Уравнение Чебышева
- •Метод факторизации
- •Тригонометрическое представление
- •Полиномы Чебышева второго рода
- •Разложения функции
- •Аппроксимация полиномом
Связанные состояния электрона в АтомЕ водорода Характеристики атома протия
1. Тяжелый протон с зарядом +е. Легкий электрон с массой μ и с зарядом –е. Движение электрона описываем в сферических координатах, в центре – протон.
2. Потенциальная энергия электрона в СГС
, .
3. Кинетическая энергия радиального движения
,
–радиальный импульс.
4. Кинетическая энергия углового движения
,
L – орбитальный момент;
–момент инерции электрона;
–орбитальное квантовое число.
5. Полная энергия электрона
.
Для связанного состояния .
6. Выражаем квадрат радиального импульса
.
Уравнение Шредингера для радиальной части волновой функции электрона
.
В сферических координатах
,
тогда
. (6.84)
Упрощаем уравнение
Вводим боровский радиус
.
Заменяем – безразмерная величина:
,
тогда
.
Будет доказано, что n квантуется – , тогда получаем дискретный спектр
–основное состояние,
,
.
Исходное уравнение
(6.84)
получает вид
, .
Переходим к безразмерной x
, ,,.
Уравнение умножаем на и получаем
, (6.85)
, .
Решение уравнения методом факторизации
Уравнение обобщенного гипергеометрического типа
, (5.5)
, ,,,
-
,
, ,
, ,
:
;
:
;
;
,
,
С учетом иполучаем
, ,:
,
,
,
,
.
Из (5.8)
.
Если –целое не отрицательное число, то применима формула Родрига (5.7)
-
,
,
,
, .
дает
,
где
– обобщенный полином Лагерра.
В результате
, (6.85а)
,
.
Если – не целое, то нормировкане существует и физическое состояние отсутствует.
Условие ортонормированности (5.11)
-
,
,
,
, ,
,
,
, ,
.
Выбираем изусловия ортонормированности в виде
. (6.86)
тогда
.
Из
(6.85а)
получаем
, (6.87)
где
, ,.
Физический смысл параметров
– радиальное квантовое число, равное числу нулей радиальной части волновой функции;
– главное квантовое число определяет энергию электрона
;
– орбитальное квантовое число определяет модуль момента импульса электрона
;
– число проекций на ось z орбитального момента с числом l.
Решения низших порядков:
;
,
.
Нормировка плотности вероятности
В сферических координатах требуем
, ,.
Для переменной r
,
для переменной x
, . (6.88)
Нормировка определяет выбор постоянной .
Доказательство (6.88):
Используем
(6.76)
при
,
находим
.
Подстановка
(6.87)
дает
,
и получаем (6.88).
Рекуррентные соотношения
1. Равенство для полиномов Лагерра с одинаковыми порядками α
(6.58)
умножаем на и с учетом
, ,
(6.87)
получаем соотношение между функциями с одинаковыми l
– . (6.89)
2. Дважды используем
, (6.59)
находим
,
.
В результате
.
Заменяем
, ,
получаем
.
Умножаем равенство на
,
и сравниваем с
, (6.87)
приходим к соотношению, где индекс l у функции, стоящей слева, на единицу меньше, чем у функций, стоящих справа:
–. (6.90)
3. Используя (6.57) и (6.61), находим
.
Выражая с помощью (6.58) и заменяя, получаем
.
Полагая ,и умножая на , находим соотношение, где индекс l у функции, стоящей слева, на единицу больше, чем у функций, стоящих справа:
. (6.91)
4. Дифференцируем
, (6.87)
используем
, (6.54)
получаем
.
Используем рекуррентные соотношения (6.58) и (6.61), которые выравнивают верхний индекс и убирают множитель x из круглой скобки:
.
В результате
– . (6.92)
Вычисление матричных элементов
, (1)
.
1. Среднее расстояние до ядра электрона в состояниив атоме водорода.
С учетом оператора радиуса и радиального объема , находим
,
где сделана замена . Вычисляем интеграл с помощью условия ортонормированности и рекуррентного соотношения, устраняющегоx под интегралом:
(6.86)
– . (6.89)
При возведении в квадрат рекуррентного соотношения условие ортогональности зануляет перекрестные произведения, остается сумма квадратов слагаемых
.
С учетом нормировок
,
,
,
находим
.
В результате
. (П.5.8)
2. Рекуррентное соотношение Крамерса
, (П.5.10)
где
; .
Доказательство:
Интегрируем
по частям, где
, .
Свободное слагаемое обращается в нуль, получаем
.
В результате
.
Аналогично находим
,
,
где
.
Используем уравнение Шредингера для радиальной функции
. (П.5.11)
Умножая уравнение на , интегрируем и получаем
.
Умножаем (П.5.11) на , интегрируем и находим
.
Исключая S из уравнений, получаем (П.5.10).