Сферическая функция

,

; ; ;

Описывает угловую зависимость состояния объекта в сферической системе координат .

Используется для описания вращательного движения, в теории излучения и рассеяния волн и частиц, в теории потенциала.

Определяется как собственная функция оператора момента импульса и оператора Лапласа.

Число l связано с модулем момента импульса, m – с его проекцией на ось z. Проекция вектора не может быть больше его модуля, поэтому , для проекции возможны положительные и отрицательные значения.

Набор образует полный ортонормированный базис на единичной сфере.

момент импульса ЧАСТИЦЫ

В классической механике

,

– радиус-вектор частицы, – импульс. Направление L определяется правилом правого винта.

В декартовых координатах

,

,

,

.

Формулы переходят друг в друга при циклической перестановке

.

В квантовой механике величины заменяются операторами

, ,

.

Оператор градиента

, (7.1)

n_k – единичные орты, направленные в сторону перемещения точки при бесконечно малом увеличении соответствующего аргумента.

Операторы момента импульса

,

,

,

,

. (7.2)

Формулы переходят друг в друга при циклической перестановке

.

Сферические координаты

, , . (7.3)

Оператор градиента

, (П.8.1)

– единичные орты. Операторы момента импульса

, (7.4)

. (7.5)

Оператор Лапласа

Выражается через квадрат момента импульса

, (7.6)

определяет кинетическую энергию частицы.

Радиальная часть оператора Лапласа

. (7.7)

Перестановочное соотношение операторов (коммутатор)

.

Предполагается, что правее каждого слагаемого находится функция, на которую действуют операторы:

.

Выполняются

,

.

Если операторы коммутируют, т. е. их можно переставлять , то соответствующие им физические величины измеримы одновременно с неограниченной точностью. Если коммутатор операторов не равен нулю, то чем точнее измеряется одна величина, тем больше неустранимая погрешность другой величины.

Для операторов момента импульса

,

,

,

. (7.8)

Определенные значения имеют одновременно квадрат модуля момента импульса и одна из его проекций .

Повышающий и понижающий операторы

,

. (7.9)

Действуя на сферическую функцию , операторы изменяют на единицу число m, т. е. проекцию вектора момента импульса на ось z.

Выполняются

,

, (7.11)

. (7.12)

Доказательство (7.12):

,

где использовано

. (7.8)