- •Сферическая функция
- •Формулы переходят друг в друга при циклической перестановке
- •Повышающий и понижающий операторы
- •Уравнение СферическОй функциИ
- •Разделение переменных
- •Значение в уравнении
- •Пространственное квантование орбитального момента
- •Сферическая функция
- •Инверсия координат
- •Частные выражения
- •Действие повышающего и понижающего операторов
- •Рекуррентные соотношения
- •Разложение по сферическим функциям
Уравнение СферическОй функциИ
является собственной функцией оператора квадрата момента импульса
, (7.13)
где – собственное значение оператора . Если объект находится в состоянии , то квадрат момента импульса равен .
С учетом
, (7.5)
уравнение для сферической функции
. (7.14)
Ищем решение уравнения и собственное значение λ.
Разделение переменных
Слагаемые (7.14) имеют производные от разных аргументов, поэтому аргументы решения разделяются
.
Подставляем в уравнение, умноженное слева на , и группируем слагаемые по их аргументам
.
Левая и правая стороны зависят от разных аргументов, поэтому они равны постоянной . В результате получаем независимые уравнения
, (7.15)
. (7.16)
Решение уравнения (7.15)
1. Уравнение (7.15) является уравнением Гельмгольца и имеет решение
.
2. Однозначность решения накладывает условие периодичности по углу
.
Получаем
,
откуда
, ,
– магнитное число,
.
3. Квадрат модуля функции состояния является плотностью вероятности состояния и удовлетворяет условию нормировки
,
тогда
,
. (7.17)
На основании
(1.43)
выполняется условие ортонормированности
. (7.18)
4. Для оператора проекции момента импульса
, (7.4)
выполняется
,
. (7.19)
Следовательно, и – собственные функции оператора проекции момента импульса на ось z с собственным значением . В состоянии, описываемом функцией , измерение проекции момента импульса на ось z дает
.
Значение в уравнении
1. Оператором
(7.11)
действуем на и используем
, (7.19)
получаем
.
Операторы переводят состояние с собственным значением m в состояния с собственными значениями , т. е. – повышающий оператор, – понижающий оператор.
2. Проекция вектора не превышает его модуль. Если
,
то нет состояний с , тогда действие повышающего оператора на состояние с максимальной проекцией
.
3. Действуем на оператором
. (7.12)
Используем
(7.19)
и
, (7.13)
тогда
и находим
.
4. В результате
,
, (7.20)
где
– магнитное число;
– орбитальное число;
– проекция орбитального момента на ось z;
– модуль орбитального момента.
Пространственное квантование орбитального момента
При l = 3 получаем
,
,
.
Угол ориентации L квантуется
, ;
число возможных проекций равно ;
Вектор момента импульса L не может быть направлен вдоль Оz.
Решение уравнения (7.16)
С учетом уравнение
(7.16)
совпадает с уравнением (6.116) для присоединенной функции Лежандра, тогда
. (7.21)
С учетом
,
получаем
. (7.22)
Накладываем условие нормировки
,
.
Учитываем
, (1.43)
, (6.123)
получаем
. (7.23)