Классические ортогональные полиномы
Полином
(многочлен) порядка
.
Условие ортогональности
– орт,
– базис
в гильбертовом пространстве с
условием
ортонормированности
,
где
– скалярное
произведение функций;
– весовая
функция;
– символ
Кронекера.
Классические ортогональные полиномы некоторого типа являются частными решениями дифференциального уравнения обобщенного гипергеометрического типа – полиномы Эрмита, Лагерра, Лежандра, Чебышева, Якоби, Гегенбауэра.
Полиномы Эрмита
,
;
.
Применяются в оптике, в математической статистике, в теории вероятностей, в квантовой механике.
Полиномы исследовали Пафнутий Львович Чебышев в 1859 г. и Шарль Эрмит в 1864 г., они называются также полиномами Чебышева–Эрмита.
Уравнение Эрмита
.
(6.1)
Формула Родрига
Методом
факторизации ранее получено решение
(П.3.3). Доопределяем
,
тогда
.
(6.2)
Весовая функция (П.3.1)
.
Из (6.2)
.
(6.3)
Полиномы низших степеней
Из (6.2) с учетом
,
,
,
…
находим
,
,
,
,
,
.
Полиномиальная форма
Обобщаем частные результаты
,
(6.4)
где
– целая часть
.
Интегральное представление
(6.8)
применимо как для целых положительных m, так и для дробных и для отрицательных m.
Доказательство (6.8):
Теорема Фурье о дифференцировании
Для
учитываем (П.2.6)
тогда
.
Под
интегралом заменяем
:
,
Подстановка в (6.2)
|
дает
, (6.8)
где комплексное сопряжение не меняет вещественный полином.
Производящая функция
Методом факторизации ранее получено (П.3.5)
.
(6.10)
Из (5.14)
с получаем
.
(6.11)
Рекуррентные соотношения для полиномов
Алгоритм получения:
1. Дифференцируем (6.10) по одному из аргументов.
2. В полученное соотношение подставляем (6.11).
3. Приравниваем слагаемые с одинаковыми степенями t.
Соотношение 1 для полинома Эрмита
Из
(6.10)
получаем
.
Подставляем (6.11)
,
приравниваем
слагаемые с
,
получаем
,
(6.12)
.
(6.13)
Соотношение 2
Из
(6.10)
получаем
.
Подставляем
, (6.11)
находим
,