Частные случаи

1. При из

, (П.5.10)

находим

,

,

– теорема вириала связывает полную энергию со средним значением потенциальной энергии .

2. При получаем

. (П.5.8)

3. При находим

.

Соотношение (П.5.10) не позволяет найти .

Полиномы Лежандра

, ; ; ;

– описывают угловую зависимость в полярных и сферических координатах;

– входят в собственные функции оператора момента импульса и оператора Лапласа;

– множество образует ортонормированный базис на интервале.

Полиномы исследовал Андре Мари Лежандр в 1785 г.

Уравнение Лежандра

, (6.93)

Учитываем

,

тогда

. (6.93а)

Для угловой переменной

, ,

,

из (6.93а) для получаем

. (6.94)

Метод факторизации

1. Уравнение

(6.93)

гипергеометрического типа

.

2. Сравнение дает

,

, ,,,

, ,

,

,

, ,

,

.

3. Граничные условия

в виде

дают

, .

4. Весовая функция

,

.

5. Решение Родрига

дает

.

Полагаем

,

получаем формулу Родрига для полинома Лежандра

. (6.96)

Свойство четности

, (6.97)

тогда

, n – нечетное.

6. Ортонормированность

, .

Учитываем

, ,,

,

,

,

тогда условие ортонормированности

. (6.112)

7. Производящая функция

,

,

.

Из уравнения для ξ

,

в виде

находим решение

,

которое при

.

Использовано

, .

Из

,

с учетом

,

получаем

.

Заменяем , тогда

, (6.101)

. (6.102)

Представление в виде полинома

Формулу Родрига

(6.96)

выражаем через полином. Используем бином Ньютона

1. Получаем

,

.

Подстановка в (6.96) дает первую полиномиальную форму

. (6.98)

Следовательно, n – порядок полинома.

2. Преобразуем

,

используем бином Ньютона

тогда

,

.

Из

(6.96)

находим

.

Замена дает вторуюполиномиальную форму

. (6.99)

Из (6.99) находим значения полинома на краях области определения

, . (6.100)

Полиномы низших порядков

Из

, (6.96)

(6.98)

находим

,

,

,

,

.

Рекуррентные соотношения

Используем производящую функцию

, (6.101)

. (6.102)

1. Дифференцируем (6.101) по x, получаем

.

Подставляем (6.102)

,

приравниваем коэффициенты при

,

получаем

. (6.103)

2. Дифференцируем (6.101) по t

.

Подставляем (6.102)

.

Коэффициенты при t ⁿ

,

получаем

. (6.104)

3. Дифференцируем (6.104)

.

4. Исключаем из последнего соотношения и (6.103)

. (6.105)

5. Аналогично исключаем

. (6.106)

6. В (6.106) заменяем

.

Исключаем с помощью (6.105)

, (6.107)

7. Складываем (6.106) и (6.105)

. (6.110)

Разложение функции по полиномам Лежандра

Если определена при, тогда

. (6.113)

Умножает (6.113) на , результат интегрируем по интервалуи учитываем

. (6.112)

После замены получаем коэффициент

.

Подставляем

, (6.96)

и интегрируем по частям n раз

. (6.114)

Соотношение Лежандра

, (П.6.4)

где ; – угол между векторами r и r₀. Используется в теории электромагнитного поля.

Доказательство:

Учитываем

.

Замена , дает

.

Сравниваем с производящей функцией полиномов Лежандра

, (6.101)

. (6.102)

Находим

.

Замена и дает

, (П.6.4)

При заменяем в (П.6.4)

. (П.6.4а).

Разложение потенциала диполя по мультиполям

Потенциал в СГС поля диполя в точке A

.

При разложение

, (П.6.6)

где – мультиполя,

Доказательство:

Из рисунка

, ,

тогда

, .

Используем

, (П.6.4)

.

Вычитаем друг из друга последние выражения. Четные слагаемые сокращаются, нечетные слагаемые удваиваются, и получаем (П.6.6).

При главный вклад вносит первое слагаемое, тогда

, (П.6.7)

где ;–дипольный момент.

Присоединенные функции Лежандра

, ;;

Входят в состав сферических функций, описывающих угловую зависимость состояния объекта в сферической системе координат , и являющихся собственными функциями оператора момента импульса. Число n связано с модулем момента импульса, m – с его проекцией на ось z. Проекция вектора не может быть больше его модуля, поэтому , для проекции возможны положительные и отрицательные значения.

Уравнение с аргументом x

(6.115)

При получаем уравнение Лежандра

, (6.93)

тогда

.

Уравнение с угловым аргументом

Учитываем

,

заменяем

, ,,

для выполняется

. (6.116)

Формула Родрига

1. Первая форма для

(6.117)

При четном– полином,

при нечетном– функция,

при

.

Учитывая

, (6.96)

из (6.117) находим связь с полиномом Лежандра

. (6.118)

2. Вторая форма для

. (6.119)

3. Третья форма для . Используем

, (6.117)

заменяем

,

сравниваем с (6.119) и получаем соотношение между функциями с положительным и отрицательным m

, . (6.120)

Низшие порядки

Используем

, (6.117)

, (6.119)

находим выражения для функций низших порядков:

;

, , ;

, , ;

, ;

;

свойство четности и частные выражения:

;

при ,

;

.

Выражение в виде ряда

Используем

, (6.118)

. (6.98)

Учитываем

,

получаем

. (6.121)

Ортонормированность

Одинаковые верхние индексы

. (6.123)

Одинаковые нижние индексы

. (6.124)

Рекуррентные соотношения

1. Дифференцируем раз

, (6.110)

находим

,

умножаем результат на , сравниваем с (6.118)

и получаем

. (6.125)

2. Дифференцируем m раз

, (6.104)

находим

,

из формулы Лейбница

,

тогда получаем

.

Результат умножаем на , используем

, (6.118)

находим

. (6.126)

3. Исключаем из (6.125) и (6.126). Получаем соотношение с одинаковыми верхними индексами

. (6.127)

4. Дифференцируем

, (6.117)

находим

умножаем результат на и сравниваем с

. (6.118)

В результате

. (6.128)