Приравниваем слагаемые с
,
Получаем
.
(6.15)
Учет
(6.12)
дает
.
(6.16)
Условие ортонормированности
Множество
образует базис в гильбертовом пространстве
функций,
определенных при
,
с
условием
ортонормированности (П.3.4)
.
(6.18)
Разложение функции по полиномам Эрмита
Если
определена при
,
то она разлагается по базису
.
(6.19)
Находим
коэффициент
:
умножаем (6.19) на
,
интегрируем по интервалу
,
меняем порядок суммирования и интегрирования,
учитываем ортонормированность (6.18),
символ Кронекера снимает сумму, оставляя одно слагаемое:
.
Заменяем
и получаем
.
Подставляем полином в форме Родрига
, (6.2)
получаем
.
Интегрируем по частям m раз, свободные слагаемые зануляются на обоих пределах, получаем коэффициент
.
(6.20)
Интегралы с полиномами Эрмита
1. Вычисляем
Учитываем четность
. (6.3)
Если
–
нечетное,
тогда
.
Если
– четное,
то в
подставляем форму Родрига
. (6.2)
Интегрируем по частям m раз, свободные слагаемые зануляются
=
.
Используем
(4.9)
при
,
,
и находим
.
Учитываем
,
(4.11)
тогда
.
В результате
,
– четное. (6.21)
Из
(6.21) при
с учетом
получаем
,
(6.21а)
Из
(6.21) при
,
(6.22)
Из
(6.22) при
и
находим
,
(6.23)
.
(6.24)
В формуле
, (6.22)
заменяем
,
где
.
Преобразуем правую сторону (6.22)
.
Используем (4.4) в виде
при
,
,
,
,
в результате
.
В результате (6.22)
при
дает
,
.
(6.25)
Из
(6.25) при
и
получаем
,
(6.26)
.
(6.27)
2. Вычисляем
,
Для
используем полиномиальную форму
,
(6.4)
тогда
.
Используем
,
,
(6.22)
при
.
В результате
=
,
(6.28)
где
знаменатели с факториалами ограничивают
.
При
,
из (6.28) получаем нормировку полиномов
Эрмита
.
(6.29)
При
,
и при
,
находим
,
.
Гармонический осциллятор
Система, колеблющаяся по гармоническому закону. От лат. oscillatio – «качание».
Осциллятор в классической теории
Масса µ находится в поле упругой потенциальной энергии
.
Упругая сила
создает
ускорение
.
Второй закон Ньютона
дает уравнение Гельмгольца
,
где частота колебаний
,
,
тогда
.
Решение уравнения дает колебания
,
где
– амплитуда.
Полная энергия
.
При максимальном смещении
,
тогда
.
Полная энергия зависит от амплитуды колебаний , и может быть любой. Квадрат импульса
(6.30)