Математический анализ в примерах и задачах
.pdfМинистерство образования Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
=============================================================
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
Часть 1
НОВОСИБИРСК
2002
УДК 517 (076.1) М 34
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, проф.
Ю.И. Соловьёв,
д-р техн. наук, проф.
Г.М. Шумский
Коллектив авторов:
С.Н. Веричев, Г.Б. Корабельникова, В.Н. Максименко, А.А. Шалагинов, Э.Б. Шварц
Работа подготовлена на кафедре инженерной математики НГТУ для студентов всех факультетов
ивсех форм обучения
М34 Математический анализ в примерах и задачах. Часть 1 /
С.Н. Веричев, Г.Б. Корабельникова, В.Н. Максименко и др.; Под ред. В.Н. Максименко: Учеб. пособие. – Новосибирск: Изд-во НГТУ,
2002 г. – 140 с.
ISBN 5-7782-0385-3
Настоящее пособие включает в себя теоретические сведения, задачи и упражнения по следующим разделам курса высшей математики: предел и непрерывность, дифференциальное и интегральное исчисления функций одной действительной переменной, их приложения к задачам геометрии и механики.
Типовые задачи даны с подробными решениями. Приведены задачи для самостоятельного решения. Все задачи снабжены ответами.
УДК 517 (076.1)
ISBN 5-7782-0385-3 |
© Новосибирский государствен- |
ный |
|
технический университет, 2002 г.
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
– знак логического следования
– знак равносильности (эквивалентности)
– знак принадлежности
– знак соответствия
: = |
– равенство по определению |
– квантор общности
– квантор существования! – «существует точно один»
{a,b,c, } – множество, состоящее из элементов a,b,c,
– пустое множество
|
A B |
– объединение множеств |
|
||||
|
A B |
– пересечение множеств |
|
||||
|
A\ B |
– разность множеств |
|
||||
|
|
, U \ A |
– дополнение множества А до универсального мно- |
||||
|
A |
||||||
|
A B |
|
жества U |
|
|||
|
– множество А является подмножеством множества В |
||||||
|
A B |
– множество А является собственным подмножеством |
|||||
|
|
|
|
|
|
множества В |
|
{x |
|
P(x)} |
– множество элементов x, удовлетворяющих условию |
||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
P(x) |
|
|
f : X Y |
– функция, отображающая множество X в (на) мно- |
|||||
|
|
|
|
|
|
жество Y |
|
|
f 1 : Y X |
– функция, обратная к функции f , отображающая |
|||||
|
|
|
|
|
|
множество Y в (на) множество X |
|
|
D( f ) |
– область определения функции |
f |
||||
|
E( f ) |
– множество значений функции |
f |
||||
|
f g |
– композиция функций f и g , т.е. сложная функция, |
|||||
|
|
|
|
|
|
составленная из функций f и g |
|
[a,b] |
– замкнутый промежуток (отрезок, сегмент) с началом a |
||||||
(a,b) |
|
и концом b |
|
||||
– открытый промежуток, интервал |
|||||||
[a,b), (a,b] |
– полуоткрытый отрезок |
|
a,b |
|
|
– промежуток (любой из вышеперечисленных) |
|||||||||||||||
O(a,ε) : ={ x |
|
: |
|
x a |
|
} |
– |
« » – окрестность точки a |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
O (a, ): ={ x |
|
|
: |
0 |
|
x a |
|
}– |
проколотая « » – окрестность |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
un |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки a |
|
|
|
– последовательность с |
«n»-м членом un |
|||||||||||||||
N : ={1, |
2, , n, } – множество натуральных чисел |
|||||||||||||||||
Z : ={ n, , , , , ,n, } |
– множество целых чисел |
|||||||||||||||||
R |
– множество действительных чисел |
|||||||||||||||||
R |
– множество положительных действительных чисел |
|||||||||||||||||
Ro |
– множество неотрицательных действительных чисел |
|||||||||||||||||
R |
– множество отрицательных действительных чисел |
|||||||||||||||||
C |
– множество комплексных чисел |
|||||||||||||||||
Rn |
– «n» – мерное арифметическое пространство |
|||||||||||||||||
|
|
|
– «k » принимает все целые значения от 1 до n. |
|||||||||||||||
k , n |
ПРЕДИСЛОВИЕ
Основой математической подготовки инженера является общий курс высшей математики. Опыт показывает, что успешному усвоению этого курса, помимо работы с учебниками и конспектами лекций, способствует использование различного рода вспомогательных изданий – справочников и методических справочных пособий, отражающих объем и структуру материала, изучаемого в конкретном вузе.
Настоящее учебное пособие состоит из трех частей. Предлагаемая читателю первая часть пособия по курсу математического анализа разработана на кафедре инженерной математики НГТУ и включает в себя главы с первой по восьмую. Она содержит около 600 задач по разделам: предел и непрерывность, дифференциальное и интегральное исчисление функций одной действительной переменной, их приложения к задачам геометрии и механики.
Пособие имеет следующую структуру: каждый параграф содержит формулировки основных определений и теорем; задачи и упражнения с подробными решениями; набор задач и упражнений для самостоятельного решения с ответами. Такая структура книги делает ее удобной для самостоятельного овладения предметом при минимальной помощи со стороны преподавателя. Начало разобранных задач обозначено символом , а завершение решения задач – символом . В некоторых случаях для наиболее употребительных определений и теорем дается вторая (краткая) их запись с помощью кванторов и логических символов. В конце каждой книги приведен список литературы, использованной авторами при подготовке материала и предлагаемой студентам для изучения.
Настоящее пособие может быть использовано студентами всех факультетов НГТУ и других технических вузов, а также преподавателями при подготовке и проведении практических занятий.
Приведенное количество задач не только удовлетворит потребности студентов в практическом закреплении знаний по соответствующему разделу курса, но и даст возможность преподавателю разнообразить выбор задач в зависимости от уровня подготовки студентов. Ряд предлагаемых задач и упражнений может быть использован преподавателем для проведения контрольных работ.
Для наглядности часть задач иллюстрируется рисунками.
Г Л А В А 1
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1 . Понятие функции состоит из трех частей: 1) области определения D; 2) множества T, содержащего область значений E; 3) правила, которое для каждого элемента из области D задает единственный элемент из области T.
2 . Для функций действительной переменной их области определения D и области значений E принадлежат множеству действительных чисел R. Если обозначить функцию символом f, а элементы D и E – символами x и y , то функция f по определенному правилу ставит в соответствие каждому элементу x D единственное значение y E , что записывается в виде
f :D E |
или y f (x). |
По традиции x называют независимой переменной (аргументом), а y – зависимой переменной – функцией. Иногда функцию обо-
значают тем же символом, что и значение, и пишут y = y(x).
3 . Способы задания функций:1) аналитический (т.е. математической формулой, называемой аналитическим выражением и дающей возможность вычислить значение функции); 2) графический; 3) при помощи таблицы; 4) при помощи словесного описания.
4 . Функция определена для x R, если значение f(x) конечное и вещественное. Множество значений x, для которых функция опре-
делена, образует область определения (область существования)
D R. В простейших случаях D есть открытый промежуток (интервал) (a; b): a < x < b, или полуоткрытые промежутки [a; b): a x < b, (a; b]: a < x b, или закрытый промежуток (отрезок, сегмент) [a; b]: a x b, где a и b – некоторые числа или символы – и + (в последних случаях равенства исключаются). Если функция задана аналитически и об области определения ничего не сказано, то ее считают множеством всех чисел, при которых формула, задаю-
1.1. Основные понятия, определения |
9 |
щая значение функции, имеет смысл, и называют естественной об-
ластью определения функции D(f).
5 . Множество всех значений, которые функция принимает на элементах своей области определения, есть область значений
E R.
6 . Если считать, что x – некоторая точка М числовой оси, а соответствующее значение y = f(x) – точка M другой числовой оси, то функцию называют отображением. Тогда точка M – образ точки М, а точка М – прообраз точки M .
7 . Сложная функция (композиция фунций). Если функция y = f(u) отображает область определения E в область значений L, а функция u = g(x) отображает свою область определения D в область
значений E1, при этом E1 E , тогда сложная функция |
|
y = f (g(x)) |
(1.1) |
отображает D в L. Запишем иначе: если f :E L и |
g :D E1, |
где E1 E , то сложная функция |
|
f g:D L. |
(1.2) |
Из (1.1) и (1.2) следует ( f g)(x) f (g(x)), т.е. функция f g |
|
реализует идею: “ применяй g, затем применяй f ”. |
F(x, y) 0 |
8 . Неявная функция. Пусть дано уравнение вида |
и пусть существует такое множество X, что для каждого x0 X су-
ществует, по крайней мере, одно число y, удовлетворяющее уравнению F(x0, y) 0. Обозначим одно из таких чисел через y0 и поста-
вим его в соответствие числу x0 . В результате имеем функцию f ,
определенную на множестве X и такую, что F x0, f (x0) 0 для всех x0 X . В этом случае говорят, что функция f задается неявно
уравнением F(x, y) 0. Уравнение F(x, y) 0 может задавать не одну, а некоторое множество неявно заданных функций.
9 . Основныеэлементарныефункции: постояннаяy=C(C–const);
степенная |
y x ; |
показательная y ax (a > 0); |
логарифмическая |
y loga x, |
(a> 0, |
a 1); тригонометрические |
y sin x, y cosx, |
y tgx, y ctgx; |
обратные тригонометрические y arcsin x, |
||
y arccosx, y arctgx, y arcctgx . |
|
10 . Элементарной функцией называется всякая функция, которая может быть явным образом задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и композиций (суперпозиций) основных элементарных функций.
10 Г л а в а 1. Действительные функции одной…
11 . Классы элементарных функций
1) Целые рациональные функции:
y a |
xn a xn 1 |
a |
2 |
xn 2 |
... a |
n 1 |
x a |
,a const |
(i |
0,n |
), n N . |
0 |
1 |
|
|
|
n |
i |
|
|
|
Сумма, разность и произведение целых рациональных функций есть целая рациональная функция.
2) Дробные рациональные функции:
y a0xn a1xn 1 ... an . b0xm b1xm 1 ... bm
Заметим, что класс целых рациональных функций содержится
вклассе дробных рациональных функций.
3)Алгебраические функции: между y и x существует зависимость вида
p0(x)yn p1(x)yn 1 ... pn 1(x)y pn(x) 0,
где p0(x), p1(x),..., pn(x) – многочлены относительно x; при этом y
удовлетворяет определенным требованиям. Классы 1), 2) содержатся в классе алгебраических функций.
4) Трансцендентные функции – это всякие функции, не яв-
ляющиеся алгебраическими. Можно показать, что показательная, логарифмическая, прямые и обратные тригонометрические функции, степенная с иррациональным показателем являются трансцендентными.
Пример. Определить область определения D( f ) функций:
а) y arcsin(1 x) lg(lgx); б) y lg(sin( / x)).
а) Так как функция arcsinx определена при x 1, а функция
lgx – при x>0, то x должен удовлетворять нескольким условиям одновременно, т.е. D( f ) получается пересечением множеств:
D( f ) (x 0) (lg x 0) (1 x 1)
(x 0) (x 1) ( 1 1 x 1)=
(x 1) (0 x 2) (1 x 2) ; D( f ) (1;2].
б) Так как функция sinx определена x R, lgx – при x > 0 и функция / x определена x R, кроме x = 0, то
|
|
|
|
|
|
D( f ) (x 0) sin |
|
0 |
|
|
|
x |
|||||
|
|
|
|
(x 0) (2 k / x (1 2k) )
=(x 0) (1/ (2k 1) x/ 1/2 k)
(x 0) (1/(2k 1) x 1/2k), |
k 1, 2,... . |
1.1. Основные понятия, определения |
11 |
Так как для любого k следует x 0, то имеем |
|
D( f ):1/(2k 1) x 1/2k, k 1, 2,... . |
|
Пример. Сложную функцию y arcsin lg(tg23x) |
представить |
цепочкой из основных элементарных функций. |
|
y arcsin z, z lgu, u tgv, v 2w, w 3x; |
|
y – “пятисложная” функция.
Пример. Функция y f (x)задана в неявном виде уравнением
x2 y2 R2. Написать функцию в явном виде.
Решив уравнение F(x, y) x2 y2 R2 0 относительно y,
получим в явном виде две однозначные функции y R2 x2
и y R2 x2 с одной и той же областью существования, но с различными областями значений. Обе они удовлетворяют исходному уравнению, и выбор конкретной из них, если необходимо, определяется из геометрических, или физических, или иных соображений.
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения |
||||||||||||||||||||||||
Найти области определения данных функций: |
y 1/(x3 x). |
||||||||||||||||||||||||||
1. |
y lg(x 3). |
2. |
y |
|
|
|
. |
|
|
3. |
|||||||||||||||||
5 2x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. |
y 1/ |
|
x2 4x. |
5. |
|
y arccos((1 2x)/4). 6. |
y arcsin |
|
. |
||||||||||||||||||
|
2x |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7. |
y 1/ |
|
|
x |
|
x |
|
. |
8. |
y logx 2. |
9. y arcsin((x 3)/2) lg(4 x). |
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
10. |
y lgsin(x 3) |
16 x2 . |
11. |
y |
|
16 x2 . |
|||||||||||||||||||||
sin x |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y lg 1 lg(x2 5x 16) . |
||||||||||||||||||
12. |
y |
x2 3x 2 1/ |
|
|
3 2x x2 . |
13. |
14. В шар радиуса R вписывается прямой конус. Найти функциональную зависимость площади боковой поверхности S конуса от его образующей x. Указать область определения этой функции.
15. Пусть функция f(u) определена при 0 < u < 1. Найти область определения функций: a) f (sin x), б) f (ln x).
16. Дано: |
y z2, |
z 3 |
x 1 |
, |
x at . Выразить y как функцию t. |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
17. Дано: |
y sinx, v lny, u |
1 v2 . Выразить u как функцию x. |
|||||||||
В задачах 18–21 сложные функции представить с помощью це- |
|||||||||||
почек элементарных функций: |
|
|
|
|
|
||||||
18. |
y sin3 x. |
19. |
y sin(x3). |
20. y lgtgx. |
|||||||
21. |
(3x 1)2 |
22. |
|
f (x) x |
3 |
x, |
(x) sin2x. |
||||
y 5 |
. |
|
|
12 |
|
|
|
Г л а в а 1. Действительные функции одной… |
|||
Найти: |
а) f ( ( /12)), |
б) ( f (2)), |
в) f ( (x)), г) f ( f (x)), |
||||
|
|
д) ( (x)). |
|
y f (x), |
|
||
Написать в явном виде функцию |
неявно заданную |
||||||
уравнениями: |
|
|
|
||||
23. |
x2 |
|
y2 |
1. |
24. x3 y3 |
a3. |
25. 2xy 5. |
a2 |
|
||||||
|
|
b2 |
|
|
|
||
26. lgx lg(y 1) 4. |
27. (1 x)cos y x2 0. |
1.2.НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ ФУНКЦИЙ
Ограниченные функции. Функция f(x) называется ограничен-
ной сверху (снизу) в области D, если существует такое число M, чтоx D выполняется f (x) M ( f (x) M).
Функция f(x) называется ограниченной в D, если она ограничена и сверху и снизу, т.е. существуют такие числа M и N (M<N), чтоx D выполняется M f (x) N .
Пример. а) Функция y x2 ограничена снизу на всей числовой
оси, ибо для всякого числа M 0 выполняется x2 M , но не ограничена сверху.
б) Функция y tgx не ограничена на всей числовой оси, но ог-
раничена на [0; /4], ибо x [0; |
/4] выполняется 0 tgx 1, |
|||||
т.е. существуют числа M 0 , N 1 |
и такие, что M tgx N . |
|||||
в) |
Функция y sin x ограничена на всей числовой оси, ибо |
|||||
M 1 |
выполняется |
|
sin x |
|
M ( M sin x M). |
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения
Какие из функций в указанной области ограничены сверху, ог-
раничены снизу, ограничены, не ограничены? |
|
||||||||
28. y |
|
2 |
|
, 0 x 2. |
|
29. y ctgx, |
/4 x /3. |
||
|
|
|
|
||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|||
30. y 2 x, x . |
31. |
y 3x 3 x, x . |
|||||||
32. y 3x 3 x, |
x . |
33. |
y lgcosx, /2 x /2. |
||||||
Монотонные функции. Пусть: 1) функция f(x) определена в D; |
|||||||||
2) x1,x2 D |
приращение функции f |
f(x2) f(x1). Функция f(x) |
|||||||
называется монотонно возрастающей (убывающей) в D в строгом |
|||||||||
смысле, если для x1 x2 выполняется |
f (x1) f (x2) или f 0 |
||||||||
f (x1) f (x2) |
или |
f 0 , |
и называется неубывающей (невозрас- |
||||||
тающей), если |
|
f (x ) f (x ) |
или |
f 0 |
(f (x ) f (x ) или f 0 , |
||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
или f 0).