Соотношения между матричными элементами
Для эрмитового оператора
(4)
– комплексное
сопряжение обращает направление перехода
между состояниями, т. е. течение времени:
.
Доказательство:
С учетом
,
(1)
получаем
.
Третье равенство следует из эрмитовости (3) оператора.
Матричный элемент произведения эрмитовых операторов
(5)
– переход
под действия
операторов
и
происходит через все возможные
промежуточные состояния
k.
Доказательство:
Из определения матричного элемента (1) и эрмитовости
.
Используем фильтрующее свойство δ-функции
,
тогда
.
Условие полноты базиса
после замены порядка суммирования и интегрирований дает
.
Примеры
1. Для матричного элемента оператора координаты гармонического осциллятора доказать
,
(П.4.6)
где – безразмерная, .
Для оператора по определению
.
Устраняем множитель x под интегралом рекуррентным соотношением
, (6.34)
тогда
.
Вычисляем интегралы при помощи условия ортонормированности
. (6.33)
Получаем
, (П.4.6)
В частности
,
,
.
(П.4.7)
Матричные элементы вещественные, тогда из
(4)
получаем
.
2.
Для оператора импульса
найти матричный
элемент
,
где
;
; – безразмерная.
В
устраняем производную под интегралом,
используя рекуррентное соотношение:
.
(6.39)
Получаем
Вычисляем интегралы при помощи условия ортонормированности
,
находим
.
Частные результаты:
,
,
.
Матричные элементы импульса:
,
(П.4.11)
,
,
,
,
,
среднее значение
.
(П.4.12)
3. Доказать, что фурье-преобразование не изменяет форму уравнения гармонического осциллятора.
Фурье-преобразование уравнения
(6.31)
с учетом
,
(1.35)
(1.37)
дает
.
Заменяем
,
получаем
,
(П.4.14)
где
– безразмерный импульс;
.
(П.4.15)
4. Для полиномов Эрмита доказать формулу Мелера
,
(П.4.20)
где
.
Получить формулу при
.
Используем интегральное представление полиномов Эрмита
,
.
(6.8)
Меняем порядок суммирования и интегрирований
.
Учитываем
,
тогда
.
Используем
(П.2.5)
при
,
,
,
и вычисляем внутренний интеграл
,
тогда
.
(П.4.20а)
Последний интеграл находим при помощи (П.2.5)
,
,
и получаем (П.4.20).
При последний интеграл дает дельта-функцию
,
где учено
.
(2.24)
Из
(П.4.20а)
получаем условие
полноты базиса
.
(П.4.21)
Для
базиса функций гармонического осциллятора
,
где
,
(6.32)
получаем условие полноты
.
(П.4.22)