Уравнение Чебышева
.
(6.146)
Метод факторизации
Уравнение гипергеометрического типа
-
.
Сравнение дает
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Весовая функция
-
,
.
Решение Родрига
дает
.
Полагаем
,
полином Чебышева первого рода
.
(6.147)
Из (6.147) находим свойство четности и частные значения
,
,
.
(6.148)
Условие ортонормированности
-
,
.
Учитываем
,
,
,
,
,
находим
.
Область определения решения не определяется из стандартного условия
.
Полагаем , и используем
,
.
В результате получаем
(6.149)
Учтено .
Тригонометрическое представление
В (6.149) заменяем
,
,
получаем
,
.
(6.150)
Учитывая
четность
,
расширяем область интегрирования до
2π:
,
.
Сравниваем с формулой
,
.
(1.45)
из
темы «Преобразование Фурье периодической
функции». Поскольку
– полином степени n
по аргументу
,
то получаем
тригонометрическое
представление
,
,
.
(6.151)
Воспроизводятся результаты
,
.
(6.148)
Расширение области определения
Выражения (6.151) применимы при , метод факторизации не дает ограничения на область определения.
С учетом
,
из
(6.151)
по формуле Эйлера
,
,
получаем
.
Замена
,
дает
.
(6.153)
Формула (6.153) применима при .
Рекуррентные соотношения
1. Используем
,
полагаем , учитываем
, (6.151)
тогда
.
(6.151а)
В результате
.
(6.156)
2.
В (6.156) при
используем
,
получаем
.
(6.157)
3. В (6.156) при используем , находим
.
(6.158)
Частные значения
Из
,
и (6.157) в виде
при
находим
,
,
,
.
Следовательно,
– порядок полинома
.
Из тригонометрического представления
, (6.151)
находим
,
,
,
.
Геометрическое моделирование
Используем
. (6.151)
1.
На листе высотой 2 и шириной
строим график
.
На рисунке
.
2. Сгибаем лист в полуцилиндр радиусом 1. Ось z, перпендикулярная образующей, становится окружностью.
3.
Угловое положение
и координата z
на цилиндре
.
4.
Рассекаем цилиндр плоскостью, проходящей
через ось цилиндра и точку
.
В плоскости определяем координату x,
перпендикулярную оси цилиндра, тогда
,
.
4. Проекция графика на плоскость осевого сечения цилиндра дает полином Чебышева
.
Полиномы Чебышева второго рода
,
;
– порядок полинома
.
(6.161)
Тригонометрическое представление
Используем
,
(6.151)
,
получаем
.
(6.162)
Рекуррентное соотношение
Используем
,
делим
на
,
полагаем
,
учитываем (6.162), и получаем
.
(6.163)
Частные значения
Из
,
и
.
(6.161)
находим
,
.
Из (6.163)
,
тогда
,
.
Уравнение
Дифференцируем (6.146)
-
,
получаем
.
Используем
-
,
тогда
,
в результате находим
.
(6.165)
Метод факторизации
Уравнение гипергеометрического типа
-
.
Сравнение дает
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
, .
Весовая функция
-
,
.
Решение Родрига
дает
.
Полагаем
,
полином Чебышева второго рода
.
(6.166)
Условие ортонормированности
-
,
.
Учитываем
,
,
,
тогда
.
(6.167)