Теорема 2.3.

k -я конечная разность выражается через значения функции в k +1

точке по формуле

k yi = ∑k (−1)k − j Ckj yi+ j , где Ckj =

k!

.

(2.5.1)

j!(k − j)!

j=0

В частности уже получена 2 yi = yi+2 − 2 yi+1 + yi , аналогично получаются формулы

3 yi = 2 yi+1 − 2 yi = yi+3 − 2 yi+2 + yi+1 − yi+2 + 2 yi+1 − yi = yi+3 − 3yi+2 + 3yi+1 − yi ,

Коэффициенты, входящие в эти формулы, можно взять из треугольника Паскаля .

].

Теорема 2.4. Пусть функция y = f (x) дифференцируема k раз на отрезке [xi , xi+k

Тогда справедливо равенство k yi = hk f (k )(ζ), ζ (xi , xi+1 ).

(2.5.2)

для n =1.

= hf / (ζ)= f

, то есть f (x

)= f (x

)+ h

f / (ζ), ζ (x

).

f

k

k +1

− f

k

k

+ h

k

k

k

, x

k +1

k

при интерполяции, когда функция задана только таблично. Если h

k

мало, то

k

f

0

можно

hk

f (x ).

приближенно принять за M k = max

f (k )(x)

и, таким образом, оценить погрешность

[x0 , xk ]

В реальных вычислениях таблица конечных разностей k yi

строится по значениям

вычисленные значения k y j содержат неустранимые ошибки

εi(k ) =

k yi −

k yi = ∑k (−1)k − j Ckj εi+ j .

(2.5.3)

j=0

Пусть

εi

≤ ε для всех

i , тогда можно получить гарантированную оценку

εi(k )

k

k

≤ ∑Ckj ε = ε∑Ckj = 2k ε.

(2.5.4)

j=0

j=0

2.6. Разделенные разности и их свойства

извольным шагом, причем точки таблицы занумерованы также в произвольном порядке.

Величины f (xi ; xi+1 )=

f (xi+1 )− f (xi )

называются разделенными разностями пер-

xi+1 − xi

вого порядка функции y = f (x) в узлах

xi , xi+1. Аналогично определяются разделен-

ные разности более высокого порядка: f (xi ; xi+1; xi+2 )=

f (xi+1; xi+2 )− f (xi ; xi+1 )

- разде-

xi+2 − xi

ленная разность второго порядка в узлах

xi , xi+1 , xi+2 . Разделенной разностью

k -го по-

рядка называется число

f (xi ; xi+1;...; xi+k )=

f (xi+1; xi+2 ;...; xi+k )− f (xi ; xi+1;...; xi+k −1 )

.

(2.6.1)

xi+k − xi

x0

f (x0 )

f (x0 ; x1 )

x

f (x )

f (x0 ; x1; x2 )

1

1

)

f (x ; x

2

f (x0 ; x1; x2 ; x3 )

1

x2

f (x2 )

f (x1; x2 ; x3 )

f (x0 ; x1; x2 ; x3 ; x4 )

f (x2 ; x3 )

f (x1; x2 ; x3 ; x4 )

x3

f (x3 )

f (x2 ; x3 ; x4 )

f (x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 )

x4

f (x4 )

f (x3 ; x4 ; x5 )

f (x5 )

f (x4 ; x5 )

x5

Теорема 2.6. Разделенная разность

k -го порядка выражается через значения

функции следующим образом

f (x

)

k

f (x0 ; x1;...; xk )= ∑

.

(2.6.2)

i

(x

i

− x

0

)(x

i

− x )...(x

i

− x

)(x

i

− x

i+1

)...(x

i

− x

k

)

i=0

1

i−1

Легко заметить, что под знаком суммы стоят коэффициенты a0 , a1 ,..., ak

обобщенного

многочлена Φm (x), которые мы получали при выводе формулы Лагранжа (2.3.3). Теорема 2.6

доказывается методом математической индукции; проверим ее лишь для

k =1.

f (x

0

; x )=

f

(x0 )

+

f (x1 )

=

f (x1 )− f (x0 )

.

1

x0

− x1

x1 − x0

x1

− x0

1442443

1442443

по формуле (2.6.2)

после приведения к общему знаменателю

Теорема 2.7. Пусть функция

y = f (x)

имеет на отрезке [a, b], содержащем точки

xi , xi+1 ,..., xi+k , производную порядка k . Тогда справедливо равенство

f (xi ; xi+1 ;...; xi+k

)=

f (k )(ζ)

, ζ (a, b).

(2.6.3)

k!

f (x

; x

;...; x

)=

k yi

.

(2.6.4)

i

i+1

i+k

hk k!