Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Балтийский государственный технический университет "ВОЕНМЕХ" им. Д.Ф. Устинова

Предмет:

Вычислительная математика

Файл:

шапорев выч мат.pdf

Скачиваний:

766

Добавлен:

26.03.2015

Размер:

8.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3626 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

(0)

sin(1.1)− 0.1

0.7912

(0)

Первый шаг.

f (x

(0))

В данном примере матрица

)

1.01 −1

0.0100

Φ(x) имеет столь простую структуру, что ее можно легко обратить аналитически, а не делать

этого для численной матрицы на каждом шаге. Действительно,
								det Φ = 2x cos(x + y)																																	− 2.2x − 2x cos(x + y)= −2.2x,																																										cos(x + y)
																																																																																1			cos(x + y)
											A													A																							2x												− cos(x + y)																	−

	−1		(x)=				1																																1																																								1.1								2.2x
Φ	−1						1								11									21							= −								1																																		=						1.1								2.2x
																																																																																												.
																																																																																												.
																																																																															1		1.1 − cos(x										+ y)
					det Φ						A12													A22											2.2x											− 2x										cos(x + y)−1.1																							1		1.1 − cos(x										+ y)
																																																																													1.1										2.2x
																								)=																																																					1.1										2.2x
																				(0)										− 0.9091																2.0618																											(1)				(0)							(0)						(0)
Отсюда										Φ−1 (x										(0)										− 0.9091																2.0618																										x	(1)	= x			(0)			− Φ−1 (x				(0)			) f (x			(0)		)=
Отсюда										Φ−1 (x																																															.															x		= x						− Φ−1 (x							) f (x					)=
																															0.9091															2.9382
																															0.9091															2.9382
				0.1						−		− 0.9091																			2.0618																	0.7912																					0.1	−	− 0.6987										0.7987
				=						−																																																				=								−										=								.
																0.9091															2.9382																	0.0100																									0.7487								0.2513
				1.0												0.9091															2.9382																	0.0100																	1.0								0.7487								0.2513
												(1)			)=						− 0.1111																												(1)							−					0.9091									0.2832
Второй шаг.								f	(x			(1)									− 0.1111																				Φ−1 (x								(1)							−					0.9091									0.2832								Тогда
Второй шаг.								f	(x																									,							Φ−1 (x											)=																								.		Тогда
																							− 0.2989																																				0.9091											0.3428
																							− 0.2989																																				0.9091											0.3428
																															(2) =									(1) − Φ−1 (x																(1))									(x				(1))=
																														x	(2) =						x			(1) − Φ−1 (x																(1))						f			(x				(1))=
			0.7987							− 0.9091																				0.2832														− 0.1111																									0.7987							0.0164						=				0.7823
=						−																																																								=											−									=									.
			0.2513									0.9091																		0.3428																																							0.2513																	0.4548
			0.2513									0.9091																		0.3428														− 0.2989																									0.2513					− 0.2035												0.4548
												(2)			)=						− 0.0157																												(2)							−					0.9091									0.1903
Третий шаг.								f (x				(2)									− 0.0157																				Φ−1 (x								(2)							−					0.9091									0.1903
Третий шаг.								f (x																										,							Φ−1 (x											)=																								.
																							− 0.1813																																				0.9091											0.4488
																							− 0.1813																																				0.9091											0.4488
																																	( 3 ) =					(2) − Φ−1 (x																	(2))									(x				(2))=
																													x				( 3 ) =		x			(2) − Φ−1 (x																	(2))						f			(x				(2))=
=		0.7823					−		− 0.9091																					0.1903															− 0.0157																						0.7823						− 0.0202												0.8025
=							−																																																			=													−										=									.
		0.4548										0.9091																		0.4488															− 0.1813																						0.4548								− 0.0956										0.5504
		0.4548										0.9091																		0.4488															− 0.1813																						0.4548								− 0.0956										0.5504
																		(3)				)=								− 0.0064																									(3)								− 0.9091										0.1224
Четвертый шаг.												f (x						(3)												− 0.0064																Φ−1 (x									(3)								− 0.9091										0.1224
Четвертый шаг.												f (x																															,			Φ−1 (x												)=																						.
																														− 0.0531																																					0.9091						0.5006
																														− 0.0531																																					0.9091						0.5006
															(4) =											(3) − Φ−1 (x																(3))								(x			(3))=
													x		(4) =										x	(3) − Φ−1 (x																(3))					f			(x			(3))=
=		0.8025						−	− 0.9091																					0.1224															− 0.0064																						0.8025							− 0.0123											0.8148
=								−																																																					=										−											=								.
		0.5504										0.9091																		0.5006																																					0.5504								− 0.0324										0.5828
		0.5504										0.9091																		0.5006															− 0.0531																						0.5504								− 0.0324										0.5828
											(4)			)					− 0.0112																													(4)			)=					− 0.9091														0.0961
Пятый шаг.							f (x				(4)								− 0.0112																				Φ−1 (x									(4)								− 0.9091														0.0961
Пятый шаг.							f (x									=																,							Φ−1 (x																																				.
																								0.0036																																		0.9091
																								0.0036																																		0.9091												0.5175
																														(5) =						(4) − Φ−1 (x																		(4))									(x			(4))=
																												x		(5) =			x			(4) − Φ−1 (x																		(4))						f			(x			(4))=
=		0.8148					−		− 0.9091																					0.0961															− 0.0112																						0.8148								0.0105									0.8043
=							−																																																			=													−										=								.
		0.5828										0.9091																																		0.0036																					0.5828
		0.5828										0.9091																		0.5175																0.0036																					0.5828								− 0.0083									0.5911
																							(5)				)=				− 0.0001
Поскольку далее																	f (x						(5)								− 0.0001
Поскольку далее																	f (x																													, вычислительный процесс можно закончить, ут-

																															− 0.0013

верждая, что заданная точность вычисления корней исходной системы достигнута.

6.7. Лабораторная работа № 11. Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона

Основная идея метода Ньютона состоит в выделении из уравнений системы

157

f (x)= 0 линейных частей, которые являются главными при малых приращениях аргументов.

Это позволяет свести одну исходную задачу к решению последовательности задач для линейных систем.

Итерационная формула метода Ньютона для системы нелинейных уравнений (6.4.7)

имеет вид x(k +1) = x(k ) − Φ−1 (x(k ) ) f (x(k ) ). Необходимость обращения матрицы первых частных

производных при каждой итерации сильно затрудняет решение. Эти затруднения чаще носят технический характер, тем не менее вместо уравнения (6.4.7) иногда решают систему линейных алгебраических уравнений вида (6.4.8):

(k )

(k +1)

(k )

)

= f (x

Φ(x

(k +1)

(k )

(k +1)

= x

По методу Ньютона итерационный процесс при наличии хорошего начального при-

(k +1) −

(k )

< ε , то

ближения сходится с квадратичной

скоростью,

то

есть если

x(k +1) − xточн. ≈ ε 2 << ε.

В пакете Mathcad для решения систем нелинейных уравнений служат конструкции Given-Find и Given-MinErr, разобранные в четвертой лабораторной работе. С помощью этих подпрограмм можно решать системы объемом до двухсот уравнений.

Рассмотрим пример. Пусть дана система

					2
tg(xy + 0.3)			− x		2	= 0,
tg(xy + 0.3)			− x			= 0,
	x2	+ 2 y	2	= 1.

	2
	2

Вводим программу

ORIGIN := 1

f 1(x, y):= tan(x y + 0.3)− x2

f 2(x, y):= 0.5 x2

+ 2 y2

−1

− 0.5

f 1(x, y)

A(x, y):= dx

f (x, y):=

x0 :=

1.0

f 2(x, y)

A(x0 , x0

)

2.0410914

− 0.5205457

(x0 , x0

− 0.4527100

− 0.5

1.125

x := −0.5 y := 1.0

Given

tan(x y + 0.3)− x2 = 0

0.5 x2

+ 2 y 2 −1 = 0

− 0.3023399

Find(x, y) =

0.6907587

Given

tan(x y + 0.3)− x2 = 0

0.5 x2

+ 2 y2 −1 = 0

MinErr(x, y)= − 0.30233990.6907587

При задании иных начальных условий получаются другие точки экстремума. Напри-

мер,

x := 1.0 y := 1.0

158

Given	tan(x y + 0.3)− x2		= 0
	0.5 x2 + 2 y 2	−1 = 0
	1.0144947
	Find(x, y) =

	0.4926461
x := −1.0 y := 3.0
Given	tan(x y + 0.3)− x2		= 0
	0.5 x2 + 2 y 2	−1 = 0
	MinErr(x, y) =	− 2.1256772
	MinErr(x, y) =

		0.9774855

Это неудивительно, ибо поверхность, представляющая функцию, равную сумме уравнений исходной системы, имеет множество локальных экстремумов. Убедимся в этом, построив эту поверхность и ее линии уровня:

i :=1...100 j :=1...100 xi := −5 + 0.1 i y j := −5 + 0.1 j M 3i, j := f 1(xi , y j )+ f 2(xi , y j )

Найти решение упрощенным методом Ньютона по формулам (6.6.1), когда матрица Φ−1 (x(k ))не перевычисляется на каждом шаге, можно с помощью нескольких операторов.

Φ := A(x0 , x0			)		0.506	0.066
Φ := A(x0 , x0		2	)	Φ−1 =
1		2			0.063	0.258
					0.063	0.258	)1 , (xv i )2 )
xv 1 := x0 i :=1...11	xv i+1			:= xv i	− Φ−1 f ((xv i		)1 , (xv i )2 )

Наконец, подпрограммы, реализующие вычисления по методу Ньютона по формулам

(6.4.7) и (6.4.8)-(6.4.9), могут быть такими:

159

(x1 , x2 ,..., xn )

(x , x

,..., x

)

Параметры

этих

подпрограмм

одинаковы:

f =

f (x)=

.......................

(x , x

,..., x

)

∂f

...

∂f

∂x1

∂x2

∂xn

∂f2

A =

∂x

...

, n -

размерность системы, x0 - вектор

начального

приближения,

∂x

...

... ...

...

∂fn

∂x

∂x ...

∂x

ε- заданная точность вычислений. Приведенные варианты подпрограмм рассчитаны на систему из двух уравнений с двумя неизвестными, однако легко переделываются для любого ко-

160

нечного числа неизвестных и уравнений. Для этого нужно лишь перечислить требуемое число аргументов в операторах, вычисляющих вектор f (x) и матрицу A внутри подпрограмм.

Вводим конец программы:

ε := 10	−6	xx := Newtsyst(f , A,2, x0, ε)			− 0.3023399
ε := 10	−6	xx := Newtsyst(f , A,2, x0, ε)		xx =

						0.6907587
			− 0.3023399
xy := Nliniter(f , A,2, x0, ε) xy =

			0.6907587
1.0			xx := Newtsyst(f , A,2, x0,	ε)	xx =		− 0.3023399
x0 :=			xx := Newtsyst(f , A,2, x0,	ε)	xx =
							0.6907587
1.0							0.6907587
	2.0		xx := Newtsyst(f , A,2, x0,	ε)	xx =		− 0.3023399
x0 :=			xx := Newtsyst(f , A,2, x0,	ε)	xx =
	2.0						0.6907587
	2.0						0.6907587
	5.0		xx := Newtsyst(f , A,2, x0,	ε)	- подпрограмма не может решить систему, на-
x0 :=			xx := Newtsyst(f , A,2, x0,	ε)	- подпрограмма не может решить систему, на-
	2.0
	2.0

чальное приближение плохое и процесс расходится.

Задание № 1. Любым способом, разобранным в этой лабораторной работе, решить методом Ньютона следующую систему уравнений:

			tg(xy) = x	2	,
1.			tg(xy) = x		,
	0.8x2 + 2 y2			= 1.

3.	sin(x + y)−1.3x = 0,
3.			x2 + y2	=1.
			x2 + y2	=1.
5.			tg(xy + 0.4) = x2 ,
5.	0.6x2 + 2 y2			= 1,		x > 0, y > 0.

7.	sin(y −1)+ x =1.3,
7.
	y − sin(x +1)= 0.8.
9.	sin(y +1)− x =1,
9.		2 y + cos x = 2.
		2 y + cos x = 2.
11.		sin(x + y)=1.5x + 0.2,
11.			x2 + y2 =1.
			x2 + y2 =1.
13.		2 y − cos(x +1)= 0,
13.			x + sin y = −0.4.
			x + sin y = −0.4.
						2
15. tg(xy + 0.1) = x						2	,
15. tg(xy + 0.1) = x							,
			x2 + 2 y2	= 1.
17.		sin(x + y)−1.1x = 0.1,
17.			x2 + y2 =1.
			x2 + y2 =1.
						2
19. tg(xy + 0.1) = x						2	,
19. tg(xy + 0.1) = x							,
			0.9x2 + 2 y2 = 1.

2.	cos(y −1)+ x = 0.8,
		y − cos x = 2.

4.	sin(x + 0.5)− y =1,

	cos(y − 2)+ x = 0.
6.	cos(y + 0.5)+ x = 0.8,
		sin x − 2 y =1.6.

	sin(x − y)− xy = −1,
8.		x	2	− y	2	=		3	.

								4

		tg(xy) = x					2	,
10.
	0.5x2			+ 2 y2			= 1.

12.		sin(x + y)−1.6x = 0,
		+ y2 =1, x > 0, y > 0.
	x2

sin(y + 2)− y =1.5,

14.x + cos(y − 2)= 0.5.

16.	cos(x −1)+ y = 0.8,
		x − cos y = 2.

18.	sin(x − 0.6)− y =1.6,
		3x − cos y = 0.9.

20.	sin(2x − y)−1.2x = 0.4,
		0.8x2 +1.5y2 =1.

161

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3626 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Вычислительная математика

#
26.03.20151.18 Mб99Matlab.doc
#
26.03.20158.33 Mб766шапорев выч мат.pdf