Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Балтийский государственный технический университет "ВОЕНМЕХ" им. Д.Ф. Устинова

Предмет:

Вычислительная математика

Файл:

шапорев выч мат.pdf

Скачиваний:

766

Добавлен:

26.03.2015

Размер:

8.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3621 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

5.1.Нормы векторов и матриц и их свойства

Ввычислительной линейной алгебре выделяют четыре основные задачи: 1) решение систем линейных алгебраических уравнений; 2) вычисление определителей; 3) нахождение обратных матриц;

4) определение собственных значений и собственных векторов.

Рассмотрим подробнее первую задачу. Пусть дана система линейных уравнений

+ a

+... + a

= b ,

11 1

a21 x1 + a22 x2

+... + a2n xn

= b2 ,

............................................

+ a

+... + a

= b .

В матричной форме записи эта система принимает вид

Ax =

...

где

a21

a22 ...

a2n

A =

...

x =

, b =

... ... ...

...

(5.1.1)

(5.1.2)

Если матрица A не является вырожденной, то решение системы существует, единст-

венно и устойчиво ко входным данным.
Пусть x = (x , x ,..., x )T - приближенное решение системы (5.1.1). Тогда
1 2	n

e = xточн. − x - погрешность решения. Кроме нее качество полученного решения часто можно оценить по невязке r = b − Ax , (5.1.3) которая показывает, насколько правая часть системы отличается от левой, если подставить в

= A(x

точн. −

). Тогда

нее приближенное решение

= Ax

точн. − Ax

= Ae, e = A−1

(5.1.4)

Для того чтобы анализировать методы решения систем, необходимо уметь количест-

венно оценивать «величины» векторов x и xточн. − x , а также векторов

−

. Для

этой цели используют понятие нормы вектора.

Говорят,

что в

Rn задана норма, если x R n сопоставлено число

R ,

называемое нормой вектора x и обладающее следующими свойствами:

> 0,

если

= 0 x = 0,

αx

, x Rn и α R,

x + y

≤

- неравенство треугольника.

Существует множество различных способов введения норм. В вычислительных методах наиболее употребительными являются три нормы:


			n
	x	1	= ∑	xi	,		(5.1.5)
		1	i=1
			i=1
			n			2 ,
x		= ∑ xi				2 ,	(5.1.6)
2			i=1
			i=1
			125

x	∞	= max	xi	.	(5.1.7)
x	∞	= max	xi	.	(5.1.7)
		1≤i≤n
		1≤i≤n

При этом x ∞ ≤ x 2 ≤ x1 ≤ n x ∞. Норма (5.1.6) является естественным обобщением на

случай n - мерного пространства понятия длины вектора в двух и трехмерных геометрических пространствах. Поэтому ее называют евклидовой нормой.

Абсолютной и относительной погрешностью вектора x называются выражения

(x )=

x − x

, δ(x )=

x − x

(5.1.8)

Выбор той или иной конкретной нормы в практических задачах диктуется тем, какие требования предъявляются к точности решения. Выбор нормы (5.1.5) отвечает случаю, когда малой должна быть суммарная абсолютная ошибка в компонентах решения; выбор (5.1.6) соответствует критерию малости среднеквадратической ошибки, а выбор (5.1.7) означает, что малой должна быть максимальная из абсолютных ошибок в компонентах решения.

Величина

= max

называется нормой матрицы A , подчиненной норме

x≠0

вектора x , введенной в Rn . Норма матрицы обладает следующими свойствами:

1) A ≥ 0, A = 0 A = 0,

2)α A = α A,

3) A + B ≤ A + B,

4) A B ≤ AB,

5) Ax ≤ Ax.

Как следует из определения, каждой из векторных норм x соответствует своя под-

чиненная норма матрицы A. Нормам

1 ,

2 ,

∞ подчинены нормы

2 и

∞ ,

вычисляемые по формулам

= max

∑

aij

(5.1.9)

1≤ j≤n

i=1

= max

λ j (AT A),

(5.1.10)

1≤ j≤n

где λ j (AT A) - собственные числа матрицы AT A,

∞

= max ∑

aij

(5.1.11)

1≤i≤n

j=1

Так как вычисление нормы (5.1.10) затруднено, то для приближенной оценки величины

можно использовать неравенство

A 2

A E

2 ,

≤

∑ aij

(5.1.12)

i, j=1

где A E - евклидова норма матрицы A.

Норма матрицы имеет простую геометрическую интерпретацию. Операцию умножения матрицы A на вектор x можно рассматривать как преобразование x в новый вектор

126

Ax
y = Ax . Так как x - длина x , то x есть коэффициент растяжения вектора	x под дейст-

вием матрицы A .

5.2. Обусловленность задачи решения системы линейных алгебраических уравнений

		Рассмотрим систему	Ax =		. Пусть A задана совершенно точно, а вектор-столбец
		Рассмотрим систему	Ax =	b	. Пусть A задана совершенно точно, а вектор-столбец
	b	- приближенно.
~			- точное решение системы				, в которой правая часть
~						Ax = b
		Теорема 5.1. Пусть x				Ax = b

b является приближением к b . Тогда верны следующие оценки абсолютной и относи-

тельной погрешностей:

(x )≤ ϑ

(5.2.1)

δ(b

δ(x )≤ ϑδ

где ϑ =

A−1

, ϑδ

A−1

− x

Действительно,

(x ) =

− x

, δ(x )

, r = A(x − x ) = b − b

Тогда

)

−1

(x )

(x )≤

b − b

), δ(x ) =

≤

)= ϑδδ(b

A−1

Величина ϑ

для системы

Ax =

играет роль абсолютного числа обусловленности; вели-

A−1

чина ϑδ =

называется естественным числом обусловленности и характеризует ко-

эффициент возможного возрастания относительной погрешности решения, вызванной погрешностью правой части.

Вычислим максимальное значение ϑδ.

Тогда max ϑδ

(x) = max

A−1

x≠0

Полученная величина называется стандартным числом обусловленности и обозначается

ϑ(A) = cond(A) =

A−1

(5.2.2)

Поскольку cond(A) = max ϑδ , то

δ(x )≤ cond(A) δ(b

- точное решение системы A

x = b с приближенно заданной

Теорема 5.2. Пусть x

матрицей A . Тогда верна следующая оценка относительной точности:

), где

(x )≤ cond(A) δ(A

−

(5.2.3)

x − x

, δ(A

)

(x ) =

В случае, когда с погрешностью заданы как правая часть системы,

так и матрица A ,

можно доказать справедливость неравенства

)+ δ(A

)).

(5.2.4)

δ(x )≤ cond(A) (δ(b

127

В заключение заметим, что для вычисления cond(A) необходимо иметь A−1 . Операция вы-

числения обратной матрицы очень трудоемка, требует примерно 2n3 операций, поэтому на практике избегают такого способа вычисления cond(A).

5.3. Метод Гаусса (схема единственного деления)

Вычисления с помощью метода Гаусса состоят из двух основных этапов, называемых прямым и обратным ходом. Прямой ход заключается в последовательном исключении неиз-

вестных из системы Ax = b для преобразования ее к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей. Вычисления значений неизвестных происходят на этапе обратного хода. Прямой ход состоит из n −1 шагов.

1-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного x1 из уравнений с номерами i = 2,3,..., n. Пусть a11 ≠ 0. Тогда этот элемент называется главным (ведущим) эле-

ментом первого шага. Найдем μi1 = ai1 , i = 2,3,..., n. Вычтем последовательно из второго,

a11

третьего,..., n -го уравнения системы (5.1.1) первое уравнение, умноженное соответственно на μ21 , μ31 ,..., μn1. Это позволит обратить в нуль коэффициенты при x1 во всех уравнениях, кроме первого. В результате будет получена эквивалентная система (5.3.1), в которой

aij(1) = aij − μi1a1 j , bi(1) = bi

− μi1b1 :

a11 x1 + a12 x2 + a12 x3 + ... + a1n xn = b1 ,
a(1)x	2	+ a(1)x	3	+ ...	+ a(1)x	n	= b(1),
22	2	23	3		2n	n	2
a(1)x	2	+ a(1)x	3	+ ...	+ a(1)x	n	= b(1),	(5.3.1)
32	2	33	3		3n	n	3

................................................

an(12)x2 + an(13)x3 + ... + ann(1)xn = bn(1).

2-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного x2 из уравнений с но-

мерами

(1)

i = 3,4,..., n.

Пусть a22(1) ≠ 0

- ведущий элемент второго шага;

положим опять

и вычтем из третьего, четвертого,..., n -го уравнений второе уравнение, умножен-

μi 2

i 2

a22(1)

ное на μ32 , μ42 ,..., μn2

соответственно. Получим

a11 x1 + a12 x2

+ a13 x3 + ... + a1n xn

= b1 ,

a(1)x

+ a(1)x

+ ... + a(1)x

= b(1),

a33(2 )x3 + ... + a3(2n)xn = b4(2),

(5.3.2)

....................................

(2 )

(2)

an3 x3

+ ... + ann

xn = bn

где a(2)

= a(1) − μ

i 2

a(1),

b(2 )

= b(1) − μ

i 2

b(1). В результате после n −1 -го шага исключения по-

2 j

лучим следующую треугольную систему уравнений:

a11 x1 + a12 x2

+ a13 x3 + ... + a1n xn

= b1 ,

a(1)x

+ a(1)x

+ ... + a(1)x

= b(1),

a33(2 )x3 + ... + a3(2n)xn = b4(2 ),

(5.3.3)

....................................

(n−1)

ann

xn = bn

На этом вычисления прямого хода заканчиваются.

128

Обратный ход посвящен нахождению неизвестных x1 , x2 ,..., xn . Из последнего урав-

b(n−1)

нения системы (5.3.3) находим сразу xn = n(n−1) . Подставляя найденное значение xn в пред-

ann

последнее уравнение, получим xn−1. Осуществляя обратную подстановку, далее последова-

тельно находим xn−2 , xn−3 ,..., x1.

Общее число арифметических операций прямого хода в методе Гаусса примерно

23 n3 , обратного - всего около n2 , что при большом n пренебрежимо мало по сравнению с

числом операций прямого хода.

Заметим, что вычисление множителей, а также обратная подстановка требуют деления на главные элементы aii(i−1). Поэтому если один из главных элементов оказывается близ-

ким к нулю, то схема единственного деления в уже описанном виде не может быть реализована. В этом случае прибегают к выбору главного элемента по столбцу (схема частичного выбора) или в выбору главного элемента по всей матрице (схема полного выбора).

В схеме частичного выбора главного элемента на каждом k -м шаге исключения вы-

бирается максимальный по модулю коэффициент ai ,k при неизвестной			xk в уравнениях с
k
номерами i = k, k +1,..., n. Этим гарантируется, что	μik	≤ 1 для	всех переменных

k=1,2,..., n −1 и уравнений i = k +1,..., n.

Всхеме главного выбора допускается нарушение естественного порядка исключения неизвестных. Здесь на первом шаге среди всех элементов aij определяется максимальный по

модулю элемент ai

j .

Первое уравнение системы и уравнение с номером

i1 меняются мес-

тами. Затем производится исключение неизвестного

x j

из всех уравнений, кроме первого.

На всех других шагах последовательность действий аналогичная.

В качестве примера рассмотрим следующую систему:

1.2x1 +1.8x2

− 2.2x3 − 4.1x4

= 1.3,

10.0x1 − 5.1x2

+1.2x3 + 5.5x4 = 1.2,

2.2x

− 30.1x

+ 3.1x

+ 5.8x

= 10.0,

10.0x

− 2.4x

− 30.5x

−

2.2x

= 34.1.

Решим ее

по схеме

полного выбора

ε = 10−3.

Максимальный по

модулю элемент

a34 = −30.5

содержится в четвертом уравнении,

поэтому переставим его на первое место.

Исключаем

неизвестное

из

второго,

третьего и

четвертого уравнений, при этом

− 2.2

= 0.0721,

= −0.0393 , μ

= −0.1016 :

− 30.5

10.0000x1 − 2.4000x2

− 30.5000x3 − 2.2000x4

= 34.1000,

− 3.9414 x4

= −1.1586,

0.4790x1 +1.9730x2

10.3930x

− 5.1943x

+ 5.4135x

= 2.5401,

3.2160x

− 30.3438x

+ 5.5765x

= 13.4646.

Среди коэффициентов при неизвестных во втором, третьем и четвертом уравнениях максимальным по модулю является коэффициент a24(1) = −30.3438. Переставим четвертое уравнение на место второго и исключим x2 :

129

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3621 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Вычислительная математика

#
26.03.20151.18 Mб99Matlab.doc
#
26.03.20158.33 Mб766шапорев выч мат.pdf